Метод фазовых функций

Метод фазовых функций — метод решения задач квантовой механики. Основан на понятии фазовой функции, имеющей ясный физический смысл. При рассмотрении движения элементарной частицы в потенциальном поле, если за начало системы отсчёта $R=0$$R=0$ принять центр рассеивающего потенциала, то фазовая функция в точке $r$$r$ равна фазе рассеяния на части потенциала, содержащейся в шаре радиуса $r$$r$.

Фазовая и амплитудная функцииПравить

Рассмотрим рассеяние частицы без спина на сферически-симметричном потенциале $V(r)$$V(r)$ . Уравнение Шредингера для радиальной волновой функции $u_l(r)$$u_{l}(r)$  имеет вид:

$\frac{d^2}{d{r}^2}{u}_l(r)+[k^2-<!--\; -\; -->\frac{l(l+1)}{r^2}-<!--\; -\; -->V(r)]u_l(r)=0$${\frac {d^{2}}{dr^{2}}}u_{l}(r)+{\Bigl [}k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}-V(r){\Bigr ]}u_{l}(r)=0$  (1).

Здесь $k^2$$k^{2}$  — значение энергии частицы, $l$$l$  — значение орбитального момента частицы.

Решение этого уравнения имеет вид:

$u_l(r)\approx <!--\; \approx \; -->C[j_l(kr)-<!--\; -\; -->\tan <!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l{n}_l(kr)]$$u_{l}(r)\approx C[j_{l}(kr)-\tan \delta _{l}n_{l}(kr)]$ 

или

$u_l(r)\to <!--\; \to \; -->Csin(kr-<!--\; -\; -->\frac{l\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}+{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l),r\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$u_{l}(r)\rightarrow Csin(kr-{\frac {l\pi }{2}}+\delta _{l}),r\rightarrow \infty$ .

Здесь $j_l(kr)$$j_{l}(kr)$  и $n_l(kr)$$n_{l}(kr)$  — функции Риккати-Бесселя.

Введём в рассмотрение фазовую функцию ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l(r)$$\delta _{l}(r)$  и амплитудную функцию $A_l(r)$$A_{l}(r)$ , исходя из двух условий:

$u_l(r)=A_l(r)[\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l(r)j_l(kr)-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l(r)n_l(kr)]$$u_{l}(r)=A_{l}(r)[\cos \delta _{l}(r)j_{l}(kr)-\sin \delta _{l}(r)n_{l}(kr)]$  (2)

и

$\frac{d}{dr}{u}_l(r)=A_l(r)[\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l(r)\frac{d}{dr}{j}_l(kr)-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l(r)\frac{d}{dr}{n}_l(kr)]$${\frac {d}{dr}}u_{l}(r)=A_{l}(r)[\cos \delta _{l}(r){\frac {d}{dr}}j_{l}(kr)-\sin \delta _{l}(r){\frac {d}{dr}}n_{l}(kr)]$  (3).

Второе условие равносильно

$\frac{d{A}_l}{dr}[\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l{j}_l-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l{n}_l]-<!--\; -\; -->\frac{d{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l}{dr}{A}_l[\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l{j}_l+\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l{n}_l]=0$${\frac {dA_{l}}{dr}}[\cos \delta _{l}j_{l}-\sin \delta _{l}n_{l}]-{\frac {d\delta _{l}}{dr}}A_{l}[\sin \delta _{l}j_{l}+\cos \delta _{l}n_{l}]=0$ .

Продифференцировав уравнение $(3)$$(3)$ , подставим выражение для второй производной $u_l$$u_{l}$  вместе с уравнением $(2)$$(2)$  в уравнение Шредингера $(1)$$(1)$ . Получим уравнение для фазовой функции ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l(r)$$\delta _{l}(r)$ :

$\frac{d}{dr}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l(r)=-<!--\; -\; -->\frac{1}{k}V(r)[\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l(r)j_l(kr)-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l(r)n_l(kr){]}^2$${\frac {d}{dr}}\delta _{l}(r)=-{\frac {1}{k}}V(r)[\cos \delta _{l}(r)j_{l}(kr)-\sin \delta _{l}(r)n_{l}(kr)]^{2}$  (4)

и начальное условие:

${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l(0)=0$$\delta _{l}(0)=0$  (4).

Аналогичным образом можно получить уравнение для амплитудной функции:

$\frac{d}{dr}{A}_l(r)=-<!--\; -\; -->\frac{1}{k}{A}_l(r)V(r)[\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l(r)j_l(kr)-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l(r)n_l(kr)][\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l(r)j_l(kr)+\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l(r)n_l(kr)]$${\frac {d}{dr}}A_{l}(r)=-{\frac {1}{k}}A_{l}(r)V(r)[\cos \delta _{l}(r)j_{l}(kr)-\sin \delta _{l}(r)n_{l}(kr)][\sin \delta _{l}(r)j_{l}(kr)+\cos \delta _{l}(r)n_{l}(kr)]$  (5).

Фазовое уравнение $(4)$$(4)$  отражает связь фазы рассеяния с потенциалом. Оно является уравнением Риккати первого порядка и удобно для применения численных методов вычислений. На основе метода фазовых функций также можно вычислять амплитуды рассеяния, элементы S-матрицы, параметры рассеяния, энергии связанных состояний, функции Грина, коэффициенты прохождения через потенциальный барьер.

ЛитератураПравить

• Бабиков В. В. Метод фазовых функций в квантовой механике. — М.: Наука, 1976. — С. 287.
• Бабиков В. В. Метод фазовых функций в квантовой механике // УФН, № 5, 1967.
• Герштейн С. С., Пономарёв Л. И. Метод фазовых функций в квантовой механике // УФН, № 5, 1971.
• Калоджеро Ф. Метод фазовых функций в теории потенциального рассеяния. — М.: Мир, 1972. — С. 292.