Метод Гаусса (определение орбиты)

Метод Гаусса в небесной механике и астродинамике используется для первоначального определения параметров орбиты небесного тела по трём наблюдениям.

На практике для увеличения точности используется больше наблюдений, но в теории достаточно трёх. Кроме небесных координат объекта, необходимыми сведениями являются моменты наблюдений и земные координаты пунктов наблюдения.

ИсторияПравить

В 1801 году была открыта Церера, но в течение некоторого времени её наблюдения были затруднены из-за близости к Солнцу, после чего было трудно снова найти её на небе. Карл Фридрих Гаусс поставил себе задачу определения её орбиты по имевшимся наблюдениям, за счёт чего и приобрёл мировую известность. Однако описанный ниже метод годится только для определения орбит с фокусом в теле, с которого ведутся наблюдения, так что задача Гаусса была сложнее.

Вектор положения наблюдателяПравить

 

Геоцентрическая (θ) и геодезическая (ϕ) широта

Вектор положения наблюдателя (в экваториальной системе координат) можно вычислить, зная широту места наблюдения и местное звёздное время:

${\mathbf{R}}_{\mathbf{n}}=\left[\frac{R_e}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->(2f-<!--\; -\; -->f^2){\sin }^2<!--\; \; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n}}+H_n\right]\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_n\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathbf{I}}+\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_n\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathbf{J}})+\left[\frac{R_e(1-<!--\; -\; -->f{)}^2}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->(2f-<!--\; -\; -->f^2){\sin }^2<!--\; \; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n}}+H_n\right]\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathbf{K}}$$\mathbf {R_{n}} =\left[{R_{e} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi _{n}}}}+H_{n}\right]\cos \phi _{n}(\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +\sin \theta _{n}\ \mathbf {\hat {J}} )+\left[{R_{e}(1-f)^{2} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi _{n}}}}+H_{n}\right]\sin \phi _{n}\ \mathbf {\hat {K}}$ 

или:

${\mathbf{R}}_{\mathbf{n}}=R_e\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n^{\prime }\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_n\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathbf{I}}+R_e\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n^{\prime }\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_n\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathbf{J}}+R_e\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n^{\prime }\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathbf{K}},$$\mathbf {R_{n}} =R_{e}\cos \phi '_{n}\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +R_{e}\cos \phi '_{n}\sin \theta _{n}\ \mathbf {\hat {J}} +R_{e}\sin \phi '_{n}\ \mathbf {\hat {K}} ,$ 

где:

• ${\mathbf{R}}_{\mathbf{n}}$$\mathbf {R_{n}}$  — вектор положения наблюдателя;
• $R_e$$R_{e}$  — экваториальный радиус тела, на котором находится наблюдатель;
• $f$$f$  — сплюснутость тела у полюсов (например, для Земли — 0.003353);
• ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n$$\phi _{n}$  — геодезическая широта;
• ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_n^{\prime }$$\phi '_{n}$  — геоцентрическая широта;
• $H_n$$H_n$  — высота;
• ${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_n$$\theta_n$  — местное звёздное время.

Вектор направления на объектПравить

Вектор направления на объект может быть вычислен с помощью склонения и прямого восхождения:

${\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}_{\mathbf{n}}=\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_n\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathbf{I}}+\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_n\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathbf{J}}+\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_n\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathbf{K}}$$\mathbf {{\hat {\rho }}_{n}} =\cos \delta _{n}\cos \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +\cos \delta _{n}\sin \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {J}} +\sin \delta _{n}\ \mathbf {\hat {K}}$ ,

где:

• ${\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}_{\mathbf{n}}$$\mathbf {{\hat {\rho }}_{n}}$  — единичный вектор направления на объект;
• ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_n$$\delta _{n}$  — склонение;
• ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n$$\alpha _{n}$  — прямое восхождение.

Определение орбитыПравить

Далее нужно получить вектор расстояния до объекта, а не только единичный вектор направления на него.

Шаг 1Править

Вычисляются интервалы между наблюдениями:

${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1=t_1-<!--\; -\; -->t_2$$\tau _{1}=t_{1}-t_{2}$ 

${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_3=t_3-<!--\; -\; -->t_2$$\tau _{3}=t_{3}-t_{2}$ 

$\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=t_3-<!--\; -\; -->t_1,$$\tau =t_{3}-t_{1},$ 

где $t_n$$t_{n}$  — моменты наблюдений.

Шаг 2Править

Вычисляются векторные произведения:

${\mathbf{p}}_{\mathbf{1}}={\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}_{\mathbf{2}}\times <!--\; \times \; -->{\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}_{\mathbf{3}}$$\mathbf {p_{1}} =\mathbf {{\hat {\rho }}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}$ 

${\mathbf{p}}_{\mathbf{2}}={\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}_{\mathbf{1}}\times <!--\; \times \; -->{\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}_{\mathbf{3}}$$\mathbf {p_{2}} =\mathbf {{\hat {\rho }}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}$ 

${\mathbf{p}}_{\mathbf{3}}={\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}_{\mathbf{1}}\times <!--\; \times \; -->{\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}_{\mathbf{2}}$$\mathbf {p_{3}} =\mathbf {{\hat {\rho }}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}$ 

Шаг 3Править

Вычисляются смешанные произведения:

$D_0={\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}_{\mathbf{1}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{p}}_{\mathbf{1}}={\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}_{\mathbf{1}}\cdot <!--\; \cdot \; -->({\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}_{\mathbf{2}}\times <!--\; \times \; -->{\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}_{\mathbf{3}})$$D_{0}=\mathbf {{\hat {\rho }}_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}} =\mathbf {{\hat {\rho }}_{1}} \cdot (\mathbf {{\hat {\rho }}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}} )$ 

$D_{11}={\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{p}}_{\mathbf{1}}{D}_{12}={\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{p}}_{\mathbf{2}}{D}_{13}={\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{p}}_{\mathbf{3}}$$D_{11}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{12}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{2}} \qquad D_{13}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{3}}$ 

$D_{21}={\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{p}}_{\mathbf{1}}{D}_{22}={\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{p}}_{\mathbf{2}}{D}_{23}={\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{p}}_{\mathbf{3}}$$D_{21}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{22}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{2}} \qquad D_{23}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{3}}$ 

$D_{31}={\mathbf{R}}_{\mathbf{3}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{p}}_{\mathbf{1}}{D}_{32}={\mathbf{R}}_{\mathbf{3}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{p}}_{\mathbf{2}}{D}_{33}={\mathbf{R}}_{\mathbf{3}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{p}}_{\mathbf{3}}$$D_{31}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{32}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{2}} \qquad D_{33}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{3}}$ 

Шаг 4Править

Вычисляются позиционные коэффициенты:

$A=\frac{1}{D_0}\left(-<!--\; -\; -->D_{12}\frac{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_3}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}+D_{22}+D_{32}\frac{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\right)$$A={\frac {1}{D_{0}}}\left(-D_{12}{\frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{22}+D_{32}{\frac {\tau _{1}}{\tau }}\right)$ 

$B=\frac{1}{6D_0}\left[D_{12}\left({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_3^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2\right)\frac{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_3}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}+D_{32}\left({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1^2\right)\frac{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\right]$$B={\frac {1}{6D_{0}}}\left[D_{12}\left(\tau _{3}^{2}-\tau ^{2}\right){\frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{32}\left(\tau ^{2}-\tau _{1}^{2}\right){\frac {\tau _{1}}{\tau }}\right]$ 

$E={\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}_{\mathbf{2}}$$E=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}$ 

Шаг 5Править

Вычисляется модуль вектора положения наблюдателя в момент второго наблюдения:

${R_2}^2={\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}$${R_{2}}^{2}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {R_{2}}$ 

Шаг 6Править

Вычисляются коэффициенты полинома для поиска расстояния:

$a=-<!--\; -\; -->\left(A^2+2AE+{R_2}^2\right)$$a=-\left(A^{2}+2AE+{R_{2}}^{2}\right)$ 

$b=-<!--\; -\; -->2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}B(A+E)$$b=-2\mu B(A+E)$ 

$c=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2{B}^2,$$c=-\mu ^{2}B^{2},$ 

где $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  — гравитационный параметр тела, вокруг которого происходит вращение.

Шаг 7Править

Ищутся решения уравнения:

${r_2}^8+a{r_2}^6+b{r_2}^3+c=0,$${r_{2}}^{8}+a{r_{2}}^{6}+b{r_{2}}^{3}+c=0,$ 

где $r_2$$r_{2}$  — расстояние до объекта в момент второго наблюдения.

У кубического уравнения может быть до трёх действительных корней. В случае, если их больше одного, необходимо проверить каждый из них.

Шаг 8Править

Вычисляются расстояния от точек наблюдения до объекта в каждый из моментов наблюдений:

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1=\frac{1}{D_0}\left[\frac{6\left(D_{31}\frac{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_3}+D_{21}\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_3}\right){r_2}^3+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{D}_{31}\left({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1}^2\right)\frac{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_3}}{6{r_2}^3+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\left({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_3}^2\right)}-<!--\; -\; -->D_{11}\right]$$\rho _{1}={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{31}{\dfrac {\tau _{1}}{\tau _{3}}}+D_{21}{\dfrac {\tau }{\tau _{3}}}\right){r_{2}}^{3}+\mu D_{31}\left(\tau ^{2}-{\tau _{1}}^{2}\right){\dfrac {\tau _{1}}{\tau _{3}}}}{6{r_{2}}^{3}+\mu \left(\tau ^{2}-{\tau _{3}}^{2}\right)}}-D_{11}\right]$ 

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2=A+\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}B}{{r_2}^3}$$\rho _{2}=A+{\frac {\mu B}{{r_{2}}^{3}}}$ 

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_3=\frac{1}{D_0}\left[\frac{6\left(D_{13}\frac{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_3}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1}-<!--\; -\; -->D_{23}\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1}\right){r_2}^3+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{D}_{13}\left({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_3}^2\right)\frac{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_3}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1}}{6{r_2}^3+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\left({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1}^2\right)}-<!--\; -\; -->D_{33}\right]$$\rho _{3}={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{13}{\dfrac {\tau _{3}}{\tau _{1}}}-D_{23}{\dfrac {\tau }{\tau _{1}}}\right){r_{2}}^{3}+\mu D_{13}\left(\tau ^{2}-{\tau _{3}}^{2}\right){\dfrac {\tau _{3}}{\tau _{1}}}}{6{r_{2}}^{3}+\mu \left(\tau ^{2}-{\tau _{1}}^{2}\right)}}-D_{33}\right]$ 

Шаг 9Править

Вычисляются позиционные вектора объекта (в экваториальной системе координат):

${\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}={\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}+{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1{\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}_{\mathbf{1}}$$\mathbf {r_{1}} =\mathbf {R_{1}} +\rho _{1}\mathbf {{\hat {\rho }}_{1}}$ 

${\mathbf{r}}_{\mathbf{2}}={\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}+{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2{\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}_{\mathbf{2}}$$\mathbf {r_{2}} =\mathbf {R_{2}} +\rho _{2}\mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}$ 

${\mathbf{r}}_{\mathbf{3}}={\mathbf{R}}_{\mathbf{3}}+{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_3{\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}_{\mathbf{3}}$$\mathbf {r_{3}} =\mathbf {R_{3}} +\rho _{3}\mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}$ 

Шаг 10Править

Вычисляются коэффициенты Лагранжа. Из-за этого пункта определение орбит становится неточным:

$f_1\approx <!--\; \approx \; -->1-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{{r_2}^3}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1}^2$$f_{1}\approx 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{1}}^{2}$ 

$f_3\approx <!--\; \approx \; -->1-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{{r_2}^3}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_3}^2$$f_{3}\approx 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{3}}^{2}$ 

$g_1\approx <!--\; \approx \; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1-<!--\; -\; -->\frac{1}{6}\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{{r_2}^3}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1}^3$$g_{1}\approx \tau _{1}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{1}}^{3}$ 

$g_3\approx <!--\; \approx \; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_3-<!--\; -\; -->\frac{1}{6}\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{{r_2}^3}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_3}^3$$g_{3}\approx \tau _{3}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{3}}^{3}$ 

Шаг 11Править

Вычисляется вектор скорости объекта в момент второго наблюдения (в экваториальной системе координат):

${\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}=\frac{1}{f_1{g}_3-<!--\; -\; -->f_3{g}_1}\left(-<!--\; -\; -->f_3{\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}+f_1{\mathbf{r}}_{\mathbf{3}}\right)$$\mathbf {v_{2}} ={\frac {1}{f_{1}g_{3}-f_{3}g_{1}}}\left(-f_{3}\mathbf {r_{1}} +f_{1}\mathbf {r_{3}} \right)$ 

Шаг 12Править

Теперь известно положение и скорость объекта в один момент времени. Значит, возможно определить параметры орбиты.

ЛитератураПравить

• Der, Gim J.. «New Angles-only Algorithms for Initial Orbit Determination.» Advanced Maui Optical and Space Surveillance Technologies Conference. (2012). Print (англ.)