Матричный метод

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с $n$$n$ неизвестными (над произвольным полем):

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+\dots <!--\; \dots \; -->+a_{1n}{x}_n=b_1,\\ \cdots <!--\; \cdots \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->,\\ a_{n1}{x}_1+\dots <!--\; \dots \; -->+a_{nn}{x}_n=b_n;\end{array}$${\begin{cases}a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots ,\\a_{n1}x_{1}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n};\end{cases}}$

Тогда её можно переписать в матричной форме:

$AX=B$$AX=B$, где $A$$A$ — основная матрица системы, $B$$B$ и $X$$X$ — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

$A={\begin{pmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}&\ldots &a_{{1n}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&\ldots &a_{{2n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{n1}}&a_{{n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}},X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

Умножим это матричное уравнение слева на $A^{-<!--\; -\; -->1}$$A^{{-1}}$ — матрицу, обратную к матрице $A$$A$: $A^{-<!--\; -\; -->1}\left(AX\right)=A^{-<!--\; -\; -->1}B$$A^{{-1}}\left(AX\right)=A^{{-1}}B$

Так как $A^{-<!--\; -\; -->1}A=E$$A^{{-1}}A=E$, получаем $X=A^{-<!--\; -\; -->1}B$$X=A^{{-1}}B$. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

$detA\ne <!--\; \ne \; -->0$$\det A\neq 0$.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор $B=0$$B=0$, действительно обратное правило: система $AX=0$$AX=0$ имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если $detA=0$$\det A=0$. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной СЛАУПравить

$\{\begin{array}{l}3x+2y-<!--\; -\; -->z=4,\\ 2x-<!--\; -\; -->y+5z=23,\\ x+7y-<!--\; -\; -->z=5;\end{array}$${\begin{cases}3x+2y-z=4,\\2x-y+5z=23,\\x+7y-z=5;\end{cases}}$ 

Сначала убедимся в том, что определитель матрицы из коэффициентов при неизвестных СЛАУ не равен нулю.

${\begin{vmatrix}3&2&-1\\2&-1&5\\1&7&-1\end{vmatrix}}=3-14+10-1-105+4=-103;$ 

Теперь вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они нам понадобятся для нахождения обратной матрицы.

$A_{{11}}=(-1)^{{1+1}}\cdot {\begin{vmatrix}-1&5\\7&-1\end{vmatrix}}=-34;$ 

$A_{{12}}=(-1)^{{1+2}}\cdot {\begin{vmatrix}2&5\\1&-1\end{vmatrix}}=7;$ 

$A_{{13}}=(-1)^{{1+3}}\cdot {\begin{vmatrix}2&-1\\1&7\end{vmatrix}}=15;$ 

$A_{{21}}=(-1)^{{2+1}}\cdot {\begin{vmatrix}2&-1\\7&-1\end{vmatrix}}=-5;$ 

$A_{{22}}=(-1)^{{2+2}}\cdot {\begin{vmatrix}3&-1\\1&-1\end{vmatrix}}=-2;$ 

$A_{{23}}=(-1)^{{2+3}}\cdot {\begin{vmatrix}3&2\\1&7\end{vmatrix}}=-19;$ 

$A_{{31}}=(-1)^{{3+1}}\cdot {\begin{vmatrix}2&-1\\-1&5\end{vmatrix}}=9;$ 

$A_{{32}}=(-1)^{{3+2}}\cdot {\begin{vmatrix}3&-1\\2&5\end{vmatrix}}=-17;$ 

$A_{{33}}=(-1)^{{3+3}}\cdot {\begin{vmatrix}3&2\\2&-1\end{vmatrix}}=-7;$ 

Далее найдём присоединённую матрицу, транспонируем её и подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.

$C^{{*}}={\begin{pmatrix}-34&7&15\\-5&-2&-19\\9&-17&-7\end{pmatrix}};$ 

$(C^{{*}})^{{T}}={\begin{pmatrix}-34&-5&9\\7&-2&-17\\15&-19&-7\end{pmatrix}};$ 

$A^{-<!--\; -\; -->1}=\frac{1}{detA}\cdot <!--\; \cdot \; -->(C^{\ast <!--\; \ast \; -->}{)}^T$$A^{{-1}}={\frac {1}{\det A}}\cdot (C^{{*}})^{{T}}$ 

Подставляя переменные в формулу, получаем:

$A^{{-1}}={\frac {1}{-103}}\cdot {\begin{pmatrix}-34&-5&9\\7&-2&-17\\15&-19&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {34}{103}}&{\frac {5}{103}}&-{\frac {9}{103}}\\-{\frac {7}{103}}&{\frac {2}{103}}&{\frac {17}{103}}\\-{\frac {15}{103}}&{\frac {19}{103}}&{\frac {7}{103}}\end{pmatrix}};$ 

Осталось найти неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов.

$X=A^{-<!--\; -\; -->1}\cdot <!--\; \cdot \; -->B;$$X=A^{{-1}}\cdot B;$ 

$X={\begin{pmatrix}{\frac {34}{103}}&{\frac {5}{103}}&-{\frac {9}{103}}\\-{\frac {7}{103}}&{\frac {2}{103}}&{\frac {17}{103}}\\-{\frac {15}{103}}&{\frac {19}{103}}&{\frac {7}{103}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}4\\23\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}}$ 

Итак, x = 2; y = 1; z = 4.