Число Линделёфа

Число Линделёфа - один из кардиналов, характеризующий топологическое пространство. Определяется как наименьший кардинал $m$$m$, такой, что из каждого открытого покрытия пространства $X$$X$ можно выбрать подпокрытие мощности не больше $m$$m$. Обозначается как $l(X)$$l(X)$. Так как в компактах можно выбрать даже конечное подпокрытие, то число Линделёфа в конечных случаях принимается за ${\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0$$\aleph_0$ (конечные случаи, как правило, интереса не представляют). Если число Линделёфа пространства $X$$X$ равно ${\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0$$\aleph_0$, то $X$$X$ называют линделёфовым пространством.

СвойстваПравить

1. Число Линделёфа пространства $X$$X$  не выше сетевого веса $X$$X$  $(l(X)⩽<!--\; ⩽\; -->nw(X))$$(l(X)\leqslant nw(X))$ 
2. Мощность хаусдорфова пространства $X$$X$  не больше, чем $2^{l(X)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(X)}$$2^{l(X)*\chi (X)}$ , где $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(X)$$\chi (X)$  — характер топологического пространства $X$$X$ 

ПримерыПравить

1. $l({\mathbb{R}}^n)={\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0$$l(\mathbb {R} ^{n})=\aleph _{0}$ 
2. $l(L)=2^{{\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0}$$l(L)=2^{\aleph _{0}}$ , где $L$$L$  - Плоскость Немыцкого
3. $l(J(m))=m$$l(J(m))=m$ , где $J(m)$$J(m)$  - ёж колючести $m$$m$ 
4. Число Линделёфа прямой Зоргенфрея счётно
5. Число Линделёфа квадрата прямой Зоргенфрея равно континууму

ЛитератураПравить

• Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 290-293. — 752 с.