Ёж (топология)

Ёж в общей топологии — пример метризуемого пространства. Строится из центральной точки $O$$O$, единичного полуинтервала $\mathbb{P}=(0,1]$$\mathbb{P}=(0,1]$ и произвольного множества $S$$S$ заданной мощности $\mathfrak{m}$$\mathfrak{m}$, называемой колючестью ежа, как:

$J(\mathfrak{m})=\{O\}\cup <!--\; \cup \; -->(\mathbb{P}\times <!--\; \times \; -->S)$$J(\mathfrak{m}) = \{O\}\cup(\mathbb{P}\times S)$,

с введением метрики следующим образом:

1. $d(O,(x,s))=x$$d(O,(x,s)) = x$
2. $d((x,s_1), (y,s_2)) = \begin{cases} |x - y|, & s_1 = s_2 \\ x + y, & s_1 \neq s_2 \end{cases}$.

Название возникло из-за ассоциации с «иголками» из отрезков, торчащими из точки. «Колючесть» в этой ассоциации сопоставляется с количеством игл. Таким образом, $J(0)$$J(0)$ — просто точка $O$$O$, $J(1)=J(2)$$J(1) = J(2)$ — отрезок.

СвойстваПравить

Ёж заданной колючести не зависит от выбора множества $S$$S$  с точностью до гомеоморфизма.

Теорема Ковальского. Счётная степень ежа колючести $\mathfrak{m}$$\mathfrak{m}$  (при $\mathfrak{m}\ge <!--\; \ge \; -->{\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0$${\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}$ ) является универсальным пространством для всех метризуемых пространств веса $\mathfrak{m}$$\mathfrak{m}$ . То есть любое метризуемое пространство веса $\mathfrak{m}$$\mathfrak{m}$  гомеоморфно подпространству счётной степени ежа колючести $\mathfrak{m}$$\mathfrak{m}$ .

Ёж является полным пространством, также не является вполне ограниченным пространством, при $\mathfrak{m}\ge <!--\; \ge \; -->{\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0$$\mathfrak{m} \ge \aleph_0$ , не сильно паракомпактен при $\mathfrak{m}>{\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0$$\mathfrak{m} > \aleph_0$ .

Не является локально сепарабельным при $\mathfrak{m}>{\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0$$\mathfrak{m} > \aleph_0$ .

$J(\mathfrak{m})$$J(\mathfrak{m})$  вкладывается в $J(\mathfrak{n})$$J(\mathfrak{n})$  при $\mathfrak{m}\le <!--\; \le \; -->\mathfrak{n}$$\mathfrak{m} \le \mathfrak{n}$ .

$J(\mathfrak{m})$$J(\mathfrak{m})$  вкладывается в плоскость ${\mathbb{R}}^2$${\mathbb {R}}^{2}$  только при $\mathfrak{m}< \aleph_0$  .

Если $\mathfrak{m}$$\mathfrak{m}$  — конечно, то вес, плотность, характер, клеточность и число Линделёфа ежа $J(\mathfrak{m})$$J(\mathfrak{m})$  равны ${\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0$$\aleph_0$ . Иначе (при $\mathfrak{m}\ge <!--\; \ge \; -->{\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0$$\mathfrak{m} \ge \aleph_0$ ) характер равен ${\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0$$\aleph_0$ , а вес, плотность, клеточность и число Линделёфа равны $\mathfrak{m}$$\mathfrak{m}$ .

Квадрат триода $J(3)$$J(3)$  не вкладывается в трёхмерное евклидово пространство ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb {R} ^{3}$ .

На плоскости (${\mathbb{R}}^2$$\mathbb {R} ^{2}$ ) нельзя расположить несчётное количество триодов $J(3)$$J(3)$  так, чтобы они попарно не пересекались.

Открытое отображение ежа — снова ёж не большей колючести (здесь следует аккуратно понимать совпадающие случаи $J(1)$$J(1)$  и $J(2)$$J(2)$ ).

ЛитератураПравить

• Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 374-375. — 752 с.