Лемма о трезубце

Лемма о трезубце, также называемая леммой о трилистнике и леммой Мансиона, — теорема в геометрии треугольника, связанная со свойствами вписанной, вневписанной и описанной окружностей треугольника.

Лемма о трезубце используется как вспомогательное утверждение при доказательстве многих теорем, в частности, формулы Эйлера или доказательстве существования окружности Эйлера.

Название «лемма Мансиона» было дано в честь бельгийского математика Поля Мансьона. Название же «лемма о трезубце» было дано благодаря сходству с одноимённым оружием ключевой для леммы конструкции (красная на рисунках ниже).

ФормулировкаПравить

 

Лемма о трезубце.

 

Лемма о трилистнике.

 

Лемма Мансиона.

Пусть у треугольника $ABC$$ABC$  точка $I$$I$  — центр вписанной окружности, точка $I_a$$I_{a}$  — центр вневписанной окружности, противоположной вершине $A$$A$ , а точка $L$$L$  — точка пересечения отрезка $I{I}_a$$II_{a}$  с дугой описанной окружности (см. справа). Тогда точка $L$$L$  равноудалена от $I$$I$ , $I_a$$I_{a}$ , $B$$B$  и $C$$C$ .

Частные варианты этого утверждения носят различные названия

• Теорема Мансиона: $L$$L$  равноудалена от $I$$I$  и $I_a$$I_{a}$ .
• Лемма о трилистнике, или лемма о трезубце, или лемма Мансиона: $L$$L$  равноудалена от $I$$I$ , $B$$B$  и $C$$C$ .
• Лемма о трезубце: $L$$L$  равноудалена от $I$$I$ , $I_a$$I_{a}$ , $B$$B$  и $C$$C$ .

Другой вариант задания точки $L$$L$  — как центра дуги $BC$$BC$  описанной окружности, не содержащей точки $A$$A$ .

ДоказательствоПравить

 

Под $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}A,\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}B$$\angle A,\angle B$  будем понимать углы $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BAC,\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ABC$$\angle BAC,\angle ABC$  соответственно. Если луч $AI$$AI$  пересекает описанную окружность в точке $L$$L$ , то $L$$L$  является средней точкой дуги $BC$$BC$ , отрезок $AL$$AL$  является биссектрисой угла $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}A$$\angle A$ . Проведя отрезок $BI$$BI$ , заметим, что

$\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BIL=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}A/2+\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}B/2,$$\angle BIL=\angle A/2+\angle B/2,$ 

потому что $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BIL$$\angle BIL$  внешний к треугольнику $\mathrm{△<!--\; △\; -->}AIB$$\triangle AIB$ , а также

$\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}LBI=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}LBC+\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}CBI=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}A/2+\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}B/2,$$\angle LBI=\angle LBC+\angle CBI=\angle A/2+\angle B/2,$  потому что $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}LBC$$\angle LBC$  и $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}LAC=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}A/2$$\angle LAC=\angle A/2$  равны, так как опираются на одну дугу $LC$$LC$ .

Значит, треугольник $\mathrm{△<!--\; △\; -->}BLI$$\triangle BLI$  равнобедренный, т.е, $BL=LI.$$BL=LI.$  Равенство $CL=BL$$CL=BL$  следует из того, что на обе эти хорды опирается одинаковый угол $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}A/2.$$\angle A/2.$  Таким образом, $BL=LI=LC.$$BL=LI=LC.$ 

 

Мы показали, что $BL=LI=LC$$BL=LI=LC$ . Теперь докажем что «ручка» трезубца $L{I}_a$$LI_{a}$  равна этой же величине.

Продлим сторону $AB$$AB$  за точку $B$$B$  и возьмём где-нибудь на этом продолжении точку $E$$E$ . Под $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}A$$\angle A$  будем понимать $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BAC,$$\angle BAC,$  под $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}B$$\angle B$  будем иметь в виду угол $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}EBC={180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ABC.$$\angle EBC=180^{\circ }-\angle ABC.$ 

Тогда нам нужно понять, что треугольник $\mathrm{△<!--\; △\; -->}BL{I}_a$$\triangle BLI_{a}$  равнобедренный, то есть, что $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}LB{I}_a=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}L{I}_{a}B$$\angle LBI_{a}=\angle LI_{a}B$ .

С одной стороны,

$\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}LB{I}_a=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}B/2-<!--\; -\; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}A/2$$\angle LBI_{a}=\angle B/2-\angle A/2$ 

и

$\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}EB{I}_a=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}A/2+\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}B{I}_{a}A$$\angle EBI_{a}=\angle A/2+\angle BI_{a}A$  так как $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}EB{I}_a$$\angle EBI_{a}$  внешний в треугольнике :$\mathrm{△<!--\; △\; -->}B{I}_{a}A,$$\triangle BI_{a}A,$  т.е, $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}B/2-<!--\; -\; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}A/2=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}B{I}_{a}A$$\angle B/2-\angle A/2=\angle BI_{a}A$ 

Вариации и обобщенияПравить

 

Внешняя лемма о трезубце

• Лемма о трезубце для двух центров вневписанных окружностей («внешняя» лемма о трезубце)

Связь с окружностью ЭйлераПравить

Через лемму о трезубце можно доказать существование окружности Эйлера.

Рассмотрим остроугольный треугольник ABC. Заметим, что четырёхугольники $A{H}_{c}H{H}_b$$AH_{c}HH_{b}$ , $B{H}_{c}H{H}_a$$BH_{c}HH_{a}$ , $H_{b}H{H}_{a}C$$H_{b}HH_{a}C$  вписаны (рис. 1). Поэтому равны углы $\mathrm{\measuredangle <!--\; \measuredangle \; -->}H{H}_b{H}_c=\mathrm{\measuredangle <!--\; \measuredangle \; -->}HA{H}_c=\mathrm{\measuredangle <!--\; \measuredangle \; -->}HC{H}_a=\mathrm{\measuredangle <!--\; \measuredangle \; -->}H{H}_b{H}_a$$\measuredangle HH_{b}H_{c}=\measuredangle HAH_{c}=\measuredangle HCH_{a}=\measuredangle HH_{b}H_{a}$  (рис 2).

 

рисунок 1

 

рисунок 2

Из этого следует, что $H_{b}H$$H_{b}H$  — биссектриса в треугольнике $\mathrm{△<!--\; △\; -->}{H}_c{H}_b{H}_a$$\triangle H_{c}H_{b}H_{a}$ . По совершенно аналогичным причинам $H_{a}H$$H_{a}H$  и $H_{c}H$$H_{c}H$  тоже биссектрисы в этом треугольнике (рис 3). Также можно заметить, что $AB,$$AB,$  $BC,$$BC,$  $CA$$CA$  — внешние биссектрисы к треугольнику $\mathrm{△<!--\; △\; -->}{H}_c{H}_b{H}_a$$\triangle H_{c}H_{b}H_{a}$  (потому что каждая из них перпендикулярна своей внутренней биссектрисе). Поэтому можно применить лемму о трезубце трижды, для каждой из сторон (рис 4).

 

рисунок 3

 

рисунок 4

Из этого получим, что середины отрезков $HA,HB,HC$$HA,HB,HC$  лежат на окружности, описанной около ортотреугольника. Теперь трижды применим внешнюю лемму о трезубце (рис 5).

 

рисунок 5

Получим, что середины сторон $AB,BC,CA$$AB,BC,CA$  лежат на окружности, описанной около ортотреугольника.

ЗамечаниеПравить

Для того, чтобы доказать существование окружности Эйлера для тупоугольного треугольника $ABC$$ABC$  c тупым углом $A$$A$ , достаточно рассмотреть остроугольный треугольник $BCH$$BCH$  с ортоцентром $A$$A$ , и применить к нему те же рассуждения.

См. такжеПравить

• Формула Эйлера
• Теорема Мансиона
• Вписанная окружность
• Вневписанная окружность
• Инцентр
• Окружность
• Описанная окружность
• Конфигурация Джонсона
• Теорема Фусса