Лемма Шура

Ле́мма Шу́ра — утверждение, являющееся одним из основных при построении теории представлений групп.

Формулировка леммыПравить

Представление группы $G$$G$  автоморфизмами некоторого векторного пространства $GL(V)$$GL(V)$  $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}:G\to <!--\; \to \; -->GL(V)$$\sigma :G\to GL(V)$  называется неприводимым, если не существует никакого инвариантного относительно $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  подпространства отличного от 0 и самого $V$$V$ .

Лемма Шура: Пусть $f$$f$  — линейное отображение векторных пространств $f:V_1\to <!--\; \to \; -->V_2$$f:V_{1}\to V_{2}$  над некоторым полем $K$$K$  такое, что существуют два неприводимых представления $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}:G\to <!--\; \to \; -->GL(V_1)$$\sigma :G\to GL(V_{1})$  и $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}:G\to <!--\; \to \; -->GL(V_2)$$\tau :G\to GL(V_{2})$ , такие, что ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{g}f=f{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_g$$\tau _{g}f=f\sigma _{g}$  для всех $g$$g$ . Тогда:

1)Если $f$$f$  не является изоморфизмом, то $f$$f$  — нулевое отображение.

2)Если $V_1=V_2$$V_{1}=V_{2}$  конечномерны над алгебраически замкнутым полем $K$$K$  и $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\sigma =\tau$ , то $f$$f$  является умножением на некоторый элемент поля $f:x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}x$$f:x\to \lambda x$ .

ДоказательствоПравить

Основой доказательства служит следующее общее утверждение, которое часто тоже называют «леммой Шура»:

Пусть $E$$E$  и $F$$F$  модули, являющиеся простыми (то есть не имеющие подмодулей, отличных от нулевого и самого себя). Тогда любой гомоморфизм $f:E\to <!--\; \to \; -->F$$f:E\rightarrow F$  является либо нулевым, либо изоморфизмом на $F$$F$ .

В самом деле, так как $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f$${\mathrm {Ker}}\,f$  и $\mathrm{I}\mathrm{m}f$${\mathrm {Im}}\,f$  являются подмодулями, то если $f$$f$  ненулевой гомоморфизм, имеем $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f=0$${\mathrm {Ker}}\,f=0$ , а $\mathrm{I}\mathrm{m}f=F$${\mathrm {Im}}\,f=F$ , то есть $f$$f$  — изоморфизм на весь модуль $F$$F$ .

Теперь определим групповое кольцо $K[G]$$K[G]$ . Элементами этого кольца будут линейные комбинации $k_1{g}_1+k_2{g}_2+...+k_n{g}_n$$k_{1}g_{1}+k_{2}g_{2}+...+k_{n}g_{n}$ . Умножение определяется $(k_1{g}_1)(k_2{g}_2)=(k_1{k}_2)(g_1{g}_2)$$(k_{1}g_{1})(k_{2}g_{2})=(k_{1}k_{2})(g_{1}g_{2})$  и далее по линейности. Ясно, что $K[G]$$K[G]$  кольцо. На пространстве $V_1$$V_{1}$  определим умножение элемента из $K[G]$$K[G]$  на элемент $x\in <!--\; \in \; -->V_1$$x\in V_{1}$ : $(k_1{g}_1+k_2{g}_2+...+k_n{g}_n)x=k_1{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{g_1}x+k_2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{g_2}x+...+k_n{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{g_n}x$$(k_{1}g_{1}+k_{2}g_{2}+...+k_{n}g_{n})x=k_{1}\sigma _{{g_{1}}}x+k_{2}\sigma _{{g_{2}}}x+...+k_{n}\sigma _{{g_{n}}}x$ . Тем самым мы превращаем $V_1$$V_{1}$  в модуль над кольцом $K[G]$$K[G]$ . Проверка аксиом модуля тривиальна, т.к. $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  является представлением. $V_2$$V_{2}$  аналогично, заменяя $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  на $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$ , будет модулем над $K[G]$$K[G]$ , а равенство ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{g}f=f{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_g$$\tau _{g}f=f\sigma _{g}$  то, что отображение $f$$f$  является гомоморфизмом модулей. Так как $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  и $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  неприводимы, а это означает простоту $V_1$$V_{1}$  и $V_2$$V_{2}$  как модулей над $K[G]$$K[G]$ , то первая часть леммы доказана.

Для доказательства второй части используем известное утверждение линейной алгебры о существовании собственного вектора $x\ne <!--\; \ne \; -->0$$x\neq 0$  для конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем, соответствующего собственному значению $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ , $f(x)=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}x$$f(x)=\lambda x$ . Для любого элемента $g\in <!--\; \in \; -->G$$g\in G$  имеем ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_g(f-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{id})=(f-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{id}){\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_g$$\sigma _{g}(f-\lambda \operatorname {id})=(f-\lambda \operatorname {id})\sigma _{g}$ , причём для собственного вектора $(f-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{id})(x)=0,$$(f-\lambda \operatorname {id} )(x)=0,$  следовательно $f-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{id}$$f-\lambda \operatorname {id}$  по первой части леммы является нулевым гомоморфизмом, а значит, $f$$f$  является умножением на некоторое $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ .

ЛитератураПравить

• Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.
• Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп. — М.: Мир, 1969.