Лемма Кальмана — Якубовича — Попова

Лемма Ка́льмана — По́пова — Якубо́вича — один из основополагающих результатов в области теории управления, связанный с устойчивостью нелинейных систем управления и линейно-квадратичной оптимизацией.

Лемма имеет репутацию одного из наиболее трудных для доказательства результатов в теории управления. Существуют доказательства с помощью методов алгебры, комплексного анализа, оптимального управления и выпуклого программирования.

НазванияПравить

Лемма встречается в литературе под различными названиями: лемма Якубовича, лемма Кальмана — Якубовича, лемма Кальмана — Якубовича — Попова (в англоязычных публикациях часто заменяется на «KYP lemma»). Частные случаи этого утверждения известны как лемма о положительно-вещественных матрицах (англ. positive real lemma) и лемма об ограниченно-вещественных матрицах (англ. bounded real lemma). В. А. Якубович в своих работах называл этот результат «частотной теоремой».

ФормулировкаПравить

Пусть $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  — множество чисто мнимых чисел, $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(A)$$\sigma (A)$  — спектр матрицы $A$$A$ , $E_n$$E_{n}$  — единичная матрица размера $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$ , $\ast <!--\; \ast \; -->$$*$  — эрмитово сопряжение. Пусть также пара матриц $A\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^{n\times <!--\; \times \; -->n}$$A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$  и $B\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^{n\times <!--\; \times \; -->m}$$B\in \mathbb {C} ^{n\times m}$  управляема. Тогда для любой эрмитовой матрицы $G\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^{(n+m)\times <!--\; \times \; -->(n+m)}$$G\in \mathbb {C} ^{(n+m)\times (n+m)}$  равносильны следующие утверждения:

• Выполнено частотное условие Попова, то есть для всех $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\setminus <!--\; \setminus \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(A)$$\lambda \in \Gamma \setminus \sigma (A)$ 

${\left(\begin{array}{c}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{E}_n-<!--\; -\; -->A{)}^{-<!--\; -\; -->1}B\\ E_m\end{array}\right)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}G\left(\begin{array}{c}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{E}_n-<!--\; -\; -->A{)}^{-<!--\; -\; -->1}B\\ E_m\end{array}\right)⩾<!--\; ⩾\; -->0;$$\left({\begin{array}{c}(\lambda E_{n}-A)^{-1}B\\E_{m}\end{array}}\right)^{*}G\left({\begin{array}{c}(\lambda E_{n}-A)^{-1}B\\E_{m}\end{array}}\right)\geqslant 0;$ 

• Существует эрмитова матрица $H\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^{n\times <!--\; \times \; -->n}$$H\in \mathbb {C} ^{n\times n}$  такая, что

$\left({\begin{array}{cc}A^{*}H+HA&HB\\B^{*}H&0\end{array}}\right)-G\leqslant 0;$ 

• Существует решение уравнения Лурье, то есть существуют матрицы $H\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^{n\times <!--\; \times \; -->n}$$H\in \mathbb {C} ^{n\times n}$  и $h\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^{(n+m)\times <!--\; \times \; -->m}$$h\in \mathbb {C} ^{(n+m)\times m}$  такие, что

$\left({\begin{array}{cc}A^{*}H+HA&HB\\B^{*}H&0\end{array}}\right)-G=-h^{*}h.$ 

Если матрицы $A$$A$ , $B$$B$  и $G$$G$  вещественные, то и матрицы $H$$H$ , $h$$h$  могут быть выбраны вещественными. Для того чтобы выполнялись соответствующие равносильные условия со строгими неравенствами, достаточно потребовать, чтобы матрица $A$$A$  была гурвицевой.

Вариации и обобщенияПравить

Используя дробно-линейное преобразование, можно показать, что лемма остаётся верной, если $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  является произвольной прямой или окружностью на комплексной плоскости.

Аналогом леммы для случая дискретной системы управления служит лемма Кальмана — Сегё.

Лемма тесно связана с такими вопросами теории управления, как разрешимость алгебраического уравнения Риккати и неущербность S-процедуры  (англ.) (рус., используется в теории адаптивного управления и стохастических систем.

Связь леммы с задачами линейно-квадратичной оптимизации послужила основой для создания бесконечномерных вариантов леммы, которые впоследствии стали находить применение при исследовании систем управления, описываемых различными уравнениями в частных производных.

Обобщение леммы на случай упорядоченных полей основывается на решении 17-й проблемы Гильберта.

ИсторияПравить

Лемма была впервые сформулирована и доказана В. А. Якубовичем в 1962 году для случая строгого частотного неравенства. Случай нестрогого частотного неравенства и его связь с разрешимостью уравнений Лурье были рассмотрены в 1963 году Р. Кальманом. В обеих статьях рассматривались системы со скалярным входом. Ограничение на размерность управления было снято в 1964 году Ф. Р. Гантмахером и В. А. Якубовичем и, независимо, В.-М. Поповым  (англ.) (рус..