Алгебраическое уравнение Риккати

Не следует путать с дифференциальным уравнением Риккати.

Алгебраическое уравнение Риккати — нелинейное матричное уравнение, использующееся при решении некоторых задач теории управления, в частности при построении линейно-квадратичного регулятора и фильтра Кальмана.

Два классических типа алгебраических уравнений Риккати:

• Непрерывное уравнение:

$XDX+XA+A^{\ast <!--\; \ast \; -->}X-<!--\; -\; -->C=0,$$XDX+XA+A^{*}X-C=0,$

где $X$$X$ — искомая матрица, $A,D,C$$A,D,C$ — известные квадратные комплексные матрицы, $D$$D$ и $C$$C$ — эрмитовы.

• Дискретное уравнение:

$X=A^{\ast <!--\; \ast \; -->}XA+Q-<!--\; -\; -->{\left(C+B^{\ast <!--\; \ast \; -->}XA\right)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{\left(R+B^{\ast <!--\; \ast \; -->}XB\right)}^{-<!--\; -\; -->1}\left(C+B^{\ast <!--\; \ast \; -->}XA\right),$$X=A^{*}XA+Q-\left(C+B^{*}XA\right)^{*}\left(R+B^{*}XB\right)^{-1}\left(C+B^{*}XA\right),$

где $X$$X$ — искомая матрица, $A,B,C,Q,R$$A,B,C,Q,R$ — известные комплексные матрицы, $B$$B$ и $C$$C$ могут быть прямоугольными, $Q$$Q$ и $R$$R$ — эрмитовы.

Названия обоих типов обусловлены их применением при исследовании соответственно непрерывных и дискретных динамических систем.

Для решения алгебраического уравнения Риккати применяются итерационные методы, например, метод Ньютона, а также различные матричные разложения, особенно спектральное разложение.