Лемма Александрова

Лемма Александрова — утверждение нейтральной геометрии и сферической геометрии, играющее важную роль в основаниях александровской геометрии.

Монотонная зависимость углов друг от друга.

ФормулировкаПравить

Зафиксируем вещественное число $k$$k$  и обозначим через $\mathbb{M}[k]$$\mathbb {M} [k]$  модельную плоскость кривизны $k$$k$ . То есть

• $\mathbb{M}[0]$$\mathbb {M} [0]$  есть евклидова плоскость,
• $\mathbb{M}[k]$$\mathbb {M} [k]$  при $k>0$$k>0$  есть сфера радиуса $1/\sqrt{k}$$1/{\sqrt {k}}$ ,
• $\mathbb{M}[k]$$\mathbb {M} [k]$  при $k<0$  есть плоскость Лобачевского кривизны $k$$k$ .

Пусть $XPYQ$$XPYQ$  и $X^{\prime }{P}^{\prime }{Y}^{\prime }{Q}^{\prime }$$X'P'Y'Q'$  — два четырёхугольника в $\mathbb{M}[k]$$\mathbb {M} [k]$  с равными соответствующими сторонами. Предположим, точки $P$$P$  и $Q$$Q$  лежат по разные стороны от прямой $XY$$XY$ , точка $Q^{\prime }$$Q'$  лежит на кратчайшей $X^{\prime }{Y}^{\prime }$$X'Y'$ . Тогда следующие выражения имеют один и тот же знак:

• $\mathrm{\measuredangle <!--\; \measuredangle \; -->}PQX+\mathrm{\measuredangle <!--\; \measuredangle \; -->}PQY-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\measuredangle PQX+\measuredangle PQY-\pi$ 
• $P^{\prime }{Q}^{\prime }-<!--\; -\; -->PQ$$P'Q'-PQ$ 

ИсторияПравить

Лемма появляется в книге Александров, А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. — Теортехиздат, 1948.

ЛитератураПравить

• Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.