Критерий Краскела — Уоллиса

Критерий Краскела — Уоллиса предназначен для проверки равенства медиан нескольких выборок. Данный критерий является многомерным обобщением критерия Уилкоксона — Манна — Уитни. Критерий Краскела — Уоллиса является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.

Известен также под названиями: H-критерий Краскела — Уоллиса, однофакторный дисперсионный анализ Краскела — Уоллиса (англ. Kruskal — Wallis one-way analysis of variance), тест Крускала — Уоллиса (англ. Kruskal — Wallis test). Назван в честь американских математиков Уильяма Краскела и Аллена Уоллиса.

Примеры задачПравить

Проходит чемпионат мира по футболу. Первая выборка — опрос болельщиков с вопросом «Каковы шансы на победу сборной Украины?» до начала чемпионата. Вторая выборка —- после первой игры, третья — после второго матча и т. д. Значения в выборках — шансы Украины на победу по десятибалльной шкале (1 —- «никаких перспектив», 10 — «отвезти в Украину кубок —- дело времени»). Требуется проверить, зависят ли результаты опросов от хода чемпионата.

Описание критерияПравить

Заданы $k$$k$  выборок:

$x_1^{n_1}=\{x_{11},\dots <!--\; \dots \; -->,x_{1n_1}\},\dots <!--\; \dots \; -->,x_k^{n_k}=\{x_{k1},\dots <!--\; \dots \; -->,x_{k{n}_k}\}$$x_{1}^{n_{1}}=\{x_{11},\;\ldots ,\;x_{1n_{1}}\},\;\ldots ,\;x_{k}^{n_{k}}=\{x_{k1},\;\ldots ,\;x_{kn_{k}}\}$ .

Объединённая выборка будет иметь вид:

$x=x_1^{n_1}\cup <!--\; \cup \; -->x_2^{n_2}\cup <!--\; \cup \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\cup <!--\; \cup \; -->x_k^{n_k}.$$x=x_{1}^{n_{1}}\cup x_{2}^{n_{2}}\cup \ldots \cup x_{k}^{n_{k}}.$ 

Дополнительные предположения:

1. все выборки простые, объединённая выборка независима;
2. выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений $F_1(x),\dots <!--\; \dots \; -->,F_k(x)$$F_{1}(x),\;\ldots ,\;F_{k}(x)$ .

Проверяется нулевая гипотеза $H_0:<!--\; :\; -->F_1(x)=\dots <!--\; \dots \; -->=F_k(x)$$H_{0}\colon F_{1}(x)=\ldots =F_{k}(x)$  при альтернативе $H_1:<!--\; :\; -->F_1(x)=F_2(x-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_1)=\dots <!--\; \dots \; -->=F_k(x-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_{k-<!--\; -\; -->1})$$H_{1}\colon F_{1}(x)=F_{2}(x-\Delta _{1})=\ldots =F_{k}(x-\Delta _{k-1})$ .

Упорядочим все $N=\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{n}_i$$N=\sum _{i=1}^{k}n_{i}$  элементов выборок по возрастанию и обозначим $R_{ij}$$R_{ij}$  ранг $j$$j$ -го элемента $i$$i$ -й выборки в полученном вариационном ряду.

Статистика критерия Краскела — Уоллиса для проверки гипотезы о наличии сдвига в параметрах положения двух сравниваемых выборок имеет вид:

$H=\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(1-<!--\; -\; -->\frac{n_i}{N}\right){\left\{\frac{{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{R}}_i-<!--\; -\; -->\frac{N+1}{2}}{\sqrt{\frac{(N-<!--\; -\; -->n_i)(N+1)}{12n_i}}}\right\}}^2=\frac{12}{N(N+1)}\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{n}_i{\left({\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{R}}_i-<!--\; -\; -->\frac{N+1}{2}\right)}^2=$$H=\sum _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {n_{i}}{N}}\right)\left\{{\frac {{\bar {R}}_{i}-{\dfrac {N+1}{2}}}{\sqrt {\dfrac {(N-n_{i})(N+1)}{12n_{i}}}}}\right\}^{2}={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _{i=1}^{k}n_{i}\left({\bar {R}}_{i}-{\frac {N+1}{2}}\right)^{2}=$ 

$=\frac{12}{N(N+1)}\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{R_i^2}{n_i}-<!--\; -\; -->3(N+1)$$={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {R_{i}^{2}}{n_{i}}}-3(N+1)$ ,

где

$R_i=\underset{j=1}{\overset{n_i}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{R}_{ij}$$R_{i}=\sum _{j=1}^{n_{i}}R_{ij}$ ;

${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{R}}_i=\frac{1}{n_i}{R}_i$${\bar {R}}_{i}={\frac {1}{n_{i}}}R_{i}$ .

Гипотеза сдвига отклоняется на уровне значимости $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , если $H⩾<!--\; ⩾\; -->H_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$H\geqslant H_{\alpha }$ , где $H_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$H_{\alpha }$  — критическое значение, при $k⩽<!--\; ⩽\; -->5$$k\leqslant 5$  и $n_i⩽<!--\; ⩽\; -->8$$n_{i}\leqslant 8$  вычисляемое по таблицам. При бо́льших значениях применимы различные аппроксимации.

Аппроксимация Краскела — УоллисаПравить

Пусть

$M=\frac{N^3-<!--\; -\; -->\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{n}_i^3}{N(N+1)}$$M={\frac {N^{3}-\displaystyle {\sum _{i=1}^{k}n_{i}^{3}}}{N(N+1)}}$ ;

${\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_1=(k-<!--\; -\; -->1)\frac{(k-<!--\; -\; -->1)(M-<!--\; -\; -->k+1)-<!--\; -\; -->V}{\frac{1}{2}MV}$$\nu _{1}=(k-1){\frac {(k-1)(M-k+1)-V}{{\dfrac {1}{2}}MV}}$ ;

${\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_2=\frac{M-<!--\; -\; -->k+1}{k-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_1$$\nu _{2}={\frac {M-k+1}{k-1}}\nu _{1}$ ;

$V=2(k-<!--\; -\; -->1)-<!--\; -\; -->\frac{2\left\{3k^2-<!--\; -\; -->6k+N(2k^2-<!--\; -\; -->6k+1)\right\}}{5N(N+1)}-<!--\; -\; -->\frac{6}{5}\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n_i}$$V=2(k-1)-{\frac {2\left\{3k^{2}-6k+N(2k^{2}-6k+1)\right\}}{5N(N+1)}}-{\frac {6}{5}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i}}}$ .

Тогда статистика $F=\frac{H(M-<!--\; -\; -->k+1)}{(k-<!--\; -\; -->1)(M-<!--\; -\; -->H)}$$F={\frac {H(M-k+1)}{(k-1)(M-H)}}$  будет иметь при отсутствии сдвига $F$$F$ -распределение с ${\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_1$$\nu _{1}$  и ${\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_2$$\nu _{2}$  степенями свободы. Таким образом, нулевая гипотеза отклоняется на уровне значимости $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , если $F>F_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}({\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_1,{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_2)$$F>F_{\alpha }(\nu _{1},\;\nu _{2})$ .

Аппроксимация Имана — ДавенпортаПравить

В соответствии с ней нулевая гипотеза сдвига отклоняется с достоверностью $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , если $J⩾<!--\; ⩾\; -->J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$J\geqslant J_{\alpha }$ , где $J=\frac{H}{2}\left(1+\frac{N-<!--\; -\; -->k}{N-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->H}\right)$$J={\frac {H}{2}}\left(1+{\frac {N-k}{N-1-H}}\right)$ ; $J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\left\{(k-<!--\; -\; -->1)F_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(k-<!--\; -\; -->1;N-<!--\; -\; -->k)+{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2(k-<!--\; -\; -->1)\right\}$$J_{\alpha }=\left\{(k-1)F_{\alpha }(k-1;\;N-k)+\chi _{\alpha }^{2}(k-1)\right\}$ , $F_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(f_1;f_2)$$F_{\alpha }(f_{1};\;f_{2})$  и ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2(a)$$\chi _{\alpha }^{2}(a)$  — соответственно критические значения статистик Фишера и хи-квадрат с соответствующими степенями свободы.

Это более точная аппроксимация, чем аппроксимация Краскела — Уоллиса. При наличии связанных рангов (то есть когда совпадают значения величин из разных выборок и им присваиваются одинаковые средние ранги) необходимо использовать модифицированную статистику $H^{\ast <!--\; \ast \; -->}=H{\left\{1-<!--\; -\; -->\left(\underset{j=1}{\overset{q}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{T_j}{N^3-<!--\; -\; -->N}\right)\right\}}^{-<!--\; -\; -->1}$$H^{*}=H\left\{1-\left(\sum _{j=1}^{q}{\frac {T_{j}}{N^{3}-N}}\right)\right\}^{-1}$ , где $T_j=t_j^3-<!--\; -\; -->t_j$$T_{j}=t_{j}^{3}-t_{j}$ ; $t_j$$t_{j}$  — размер $j$$j$ -й группы одинаковых элементов; $q$$q$  — количество групп одинаковых элементов. При $n_i⩾<!--\; ⩾\; -->20$$n_{i}\geqslant 20$  справедлива аппроксимация распределения статистики $H$$H$ ; ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^2$$\chi ^{2}$ -распределением с $f=k-<!--\; -\; -->1$$f=k-1$  степенями свободы, то есть нулевая гипотеза отклоняется, если $H⩾<!--\; ⩾\; -->{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2(k-<!--\; -\; -->1)$$H\geqslant \chi _{\alpha }^{2}(k-1)$ .

См. такжеПравить

• Критерий Кохрена

ЛитератураПравить

• Kruskal W. H., Wallis W. A. Use of ranks in one-criterion variance analysis. // Journal of the American Statistical Association. — 1952, 47 № 260. — pp. 583—621.
• Ликеш И., Ляга Й. Основные таблицы математической статистики. — М.: Финансы и статистика, 1985.
• Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 466—468 с.

СсылкиПравить

• Критерий Краскела — Уоллиса