Вариационный ряд

Вариационный ряд (упорядоченная выборка) — последовательность $X_{(1)}⩽<!--\; ⩽\; -->X_{(2)}⩽<!--\; ⩽\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->X_{(n-<!--\; -\; -->1)}⩽<!--\; ⩽\; -->X_{(n)}$$X_{(1)}\leqslant X_{(2)}\leqslant \cdots \leqslant X_{(n-1)}\leqslant X_{(n)}$, полученная в результате расположения в порядке неубывания исходной последовательности независимых одинаково распределённых случайных величин $X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n$$X_{1},\ldots ,X_{n}$. Вариационный ряд и его члены представляют собой так называемые порядковые статистики, и используются в математической статистике как основа непараметрических методов. По функции распределения $F(x)$$F(x)$ исходных случайных величин вычисляются распределения любого члена вариационного ряда и совместные распределения его членов.

Вариационный ряд служит для построения функции эмпирического распределения $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{F}(x)=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(x)/n$${\hat {F}}(x)=\mu (x)/n$ , где $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(x)$$\mu (x)$ — число членов вариационного ряда меньших $x$$x$, которая является оценкой функции распределения $F(x)$$F(x)$ случайных величин $X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n$$X_{1},\ldots ,X_{n}$. Согласно теореме Гливенко — Кантелли эта фундаментальная непараметрическая статистика сходится к функции распределения почти наверное.

Величина $X_{(k)}$$X_{(k)}$ называется k-й порядковой статистикой.

Крайние члены $X_{(1)}$$X_{(1)}$ и $X_{(n)}$$X_{(n)}$ называются экстремальными значениями вариационного ряда.

Промежуток $(X_{(1)},X_{(n)})$$(X_{(1)},X_{(n)})$ между крайними членами вариационного ряда называется интервалом варьирования, его длина $W_n=X_{(n)}-<!--\; -\; -->X_{(1)}$$W_{n}=X_{(n)}-X_{(1)}$ называется размахом выборки.

Величина $X_{(m+1)}$$X_{(m+1)}$ при нечётном $n=2m+1$$n=2m+1$ или величина $(X_{(m+1)}+X_{(m)})/2$$(X_{(m+1)}+X_{(m)})/2$ при чётном $n=2m$$n=2m$ называется выборочной медианой и служит оценкой медианы распределения.