Кососимметричная матрица

Кососимметричная (кососимметрическая или антисимметричная) матрица — квадратная матрица $A$$A$ над полем $k$$k$ характеристики, отличной от 2, удовлетворяющая соотношению:

$A^T=-<!--\; -\; -->A,$$A^{T}=-A,$

где $A^T$$A^{T}$ — транспонированная матрица.

Для $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$ матрицы $A$$A$ это соотношение эквивалентно:

$a_{i,j}=-<!--\; -\; -->a_{j,i}$$a_{i,j}={}-a_{j,i}$ для всех $i,j=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$i,j=1,2,\ldots ,n$,

где $a_{i,j}$$a_{i,j}$ — элемент $i$$i$-ой строки и $j$$j$-го столбца матрицы $A$$A$.

СвойстваПравить

• Ранг кососимметрической матрицы всегда чётный.
• Любая квадратная матрица В над полем характеристики, отличной от 2, есть сумма симметрической и кососимметрической матриц, которые определяются единственным образом.
• Ненулевые корни характеристического многочлена вещественной кососимметрической матрицы — чисто мнимые числа.
• Вещественная кососимметрическая матрица подобна блочно-диагональной матрице с нулевыми недиагональными блоками и диагональными блоками $2\times <!--\; \times \; -->2$$2\times 2$  вида

${\begin{pmatrix}0&a\\-a&0\end{pmatrix}}$ .

• Множество всех кососимметрических матриц порядка $n$$n$  над полем $k$$k$  образует алгебру Ли над $k$$k$  относительно сложения матриц и коммутирования:

$[A,B]=AB-<!--\; -\; -->BA$$[A,B]=AB-BA$ .

См. такжеПравить

• Пфаффиан