Конформный радиус

ОпределениеПравить

Пусть $G\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{C}$$G\subset \mathbb {C}$  — некоторое односвязное компактное множество. Рассмотрим его дополнение $E=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathbb{C}}\setminus <!--\; \setminus \; -->G$$E={\overline {\mathbb {C} }}\setminus G$ , которое представляет собой область. Согласно теореме Римана множество $E$$E$  может быть конформно отображено на область $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathbb{C}}\setminus <!--\; \setminus \; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$${\overline {\mathbb {C} }}\setminus \Delta$  некоторой аналитической в $E$$E$  функцией $f$$f$ , имеющей разложение в окрестности бесконечности вида $f(z)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}z+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0+\frac{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}{z}+\dots <!--\; \dots \; -->$$f(z)=\alpha z+\alpha _{0}+{\frac {\alpha _{1}}{z}}+\dots$  и удовлетворяющей условию $f(\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$f(\infty )=\infty$ . Тогда $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  называется конформным радиусом $G$$G$ , а ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0$$\alpha _{0}$  — конформным центром этой области.

СвойстваПравить

Можно показать, что значения конформного радиуса и логарифмической ёмкости равны.