Мультиоператорная группа

Мультиоператорная группа — произвольная алгебра, снабжённая групповой структурой, обобщающая понятия группы, кольца, тела, операторной группы^[en] (которая, в свою очередь, обобщает модули над кольцами, в частности, векторные пространства).

Введена в 1956 году английским математиком Филипом Хиггинсом как наиболее универсальная структура, в которой всякая конгруэнция представляется разложением на смежные классы по идеалам, а также для которой может быть определено понятие коммутанта.

Другие примеры мультиоператорых групп — почтикольцо и почтиполе^[en]. Также изучены специальные универсальные классы мультиоператорных групп — мультиоператорные кольца^[⇨] и мультиоператорные алгебры^[⇨].

ОпределенияПравить

Мультиоператорная группа или $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$ -группа — алгебра $\mathfrak{G}=⟨<!--\; ⟨\; -->G,+,-<!--\; -\; -->,0,\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$$\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ , образующая группу $⟨<!--\; ⟨\; -->G,+,-<!--\; -\; -->,0⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle G, +, -, 0 \rangle$ , притом для всякой $n$$n$ -арной операции $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\sigma \in \Sigma$  выполнено $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(0,\dots <!--\; \dots \; -->,0)=0$$\sigma(0, \dots, 0) = 0$ , то есть $\{0\}$$\{0\}$  образует подсистему в $\mathfrak{G}$$\mathfrak G$ . Принимается, что часть сигнатуры $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$  не содержит нульарных операций. Иногда мультиоператорная группа называется по своей дополнительной сигнатуре — $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$ -группа.

Нормальная подгруппа $N$$N$  группы $⟨<!--\; ⟨\; -->G,+,-<!--\; -\; -->,0⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle G, +, -, 0 \rangle$  называется идеалом мультиоператорной группы $\mathfrak{G}=⟨<!--\; ⟨\; -->G,+,-<!--\; -\; -->,0,\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$$\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ , если для любой $n$$n$ -арной операции $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\sigma \in \Sigma$ , произвольных $g_i\in <!--\; \in \; -->G$$g_i \in G$  ($1⩽<!--\; ⩽\; -->i⩽<!--\; ⩽\; -->n$$1 \leqslant i \leqslant n$ ) и $a\in <!--\; \in \; -->N$$a \in N$  все элементы вида:

$-<!--\; -\; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(g_1,\dots <!--\; \dots \; -->,g_n)+\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(g_1,\dots <!--\; \dots \; -->,g_{i-<!--\; -\; -->1},a+g_i,g_{i+1},\dots <!--\; \dots \; -->,g_n)$$-\sigma(g_1, \dots, g_n) + \sigma(g_1, \dots, g_{i-1}, a+g_i, g_{i+1}, \dots, g_n)$ 

вновь принадлежат $N$$N$ . Может использоваться обозначение $N◃<!--\; ◃\; -->\mathfrak{G}$$N \triangleleft \mathfrak G$  по аналогии с обозначениями нормальной подгруппы и идеала кольца. Мультиоператорная группа называется простой, если у неё существует только два идеала — сама группа и нулевая подгруппа.

Коммутатор элементов $g_1,g_2$$g_{1},g_{2}$  мультиоператорной группы $\mathfrak{G}=⟨<!--\; ⟨\; -->G,+,-<!--\; -\; -->,0,\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$$\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$  определяется как элемент $-<!--\; -\; -->g_1-<!--\; -\; -->g_2+g_1+g_2$$-g_1 - g_2 + g_1 + g_2$ , обозначается $[g_1,g_2]$$[g_1, g_2]$ .

Коммутант мультиоператорной группы — идеал, порождённый всеми коммутаторами $[g,h]$$[g, h]$  и элементами вида:

$-<!--\; -\; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(g_1,\dots <!--\; \dots \; -->,g_n)-<!--\; -\; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(h_1,\dots <!--\; \dots \; -->,h_n)+\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(g_1+h_1,\dots <!--\; \dots \; -->,g_n+h_n)$$-\sigma (g_{1},\dots ,g_{n})-\sigma (h_{1},\dots ,h_{n})+\sigma (g_{1}+h_{1},\dots ,g_{n}+h_{n})$ 

для всякой $n$$n$ -арной операции $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\sigma \in \Sigma$  из дополнительной сигнатуры мультиоператорной группы.

Свойства идеалаПравить

Основная статья: Идеал (алгебра)

Для групп идеал мультиоператорной группы совпадает с понятием нормальной подгруппы, а для колец и структур на их основе — с понятием двустороннего идеала.

Всякий идеал мультиоператорной группы является её подсистемой. Пересечение любой системы идеалов $\{N_i\mid <!--\; \mid \; -->i\in <!--\; \in \; -->I\}$$\{N_i \mid i \in I\}$  мультиоператорной группы $\mathfrak{G}=⟨<!--\; ⟨\; -->G,+,-<!--\; -\; -->,0,\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$$\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$  вновь является её идеалом, притом этот идеал $N=\bigcap <!--\; \bigcap \; -->N_i$$N = \bigcap N_i$  совпадает с подгруппой группы $⟨<!--\; ⟨\; -->G,+,-<!--\; -\; -->,0⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle G, +, -, 0 \rangle$ , порождённой этими идеалами.

Основное свойство идеала — всякая конгруэнция на мультиоператорной группе описывается разложениями на смежные классы по некоторому идеалу, иными словами, о факторсистеме мультиоператорной группы (мультиоператорной факторгруппе) можно говорить как о конструкции, производящей новую мультиоператорную группу по её идеалу.

Специальные классы мультиоператорных группПравить

Мультиоператрное кольцо — мультиоператорная группа $\mathfrak{G}=⟨<!--\; ⟨\; -->G,+,-<!--\; -\; -->,0,\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$$\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ , аддитивная группа которой абелева и каждая $n$$n$ -арная операция $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\sigma \in \Sigma$  дистрибутивна относительно группового сложения:

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(g_1,\dots <!--\; \dots \; -->,g_i+h_i,\dots <!--\; \dots \; -->,g_n)=\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(g_1,\dots <!--\; \dots \; -->,g_i,\dots <!--\; \dots \; -->,g_n)+\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(g_1,\dots <!--\; \dots \; -->,h_i,\dots <!--\; \dots \; -->,g_n)$$\sigma(g_1, \dots, g_i + h_i, \dots, g_n) = \sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) + \sigma(g_1, \dots, h_i, \dots, g_n)$ 

для любых $g_i,h_i\in <!--\; \in \; -->G$$g_i, h_i \in G$ .

Мультиоператорная алгебра — мультиоператорное кольцо, все унарные операции дополнительной сигнатуры $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$  которой образуют поле ${\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}_1$$\Sigma_1$ , притом структура является векторным пространством над этим полем и для всех $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}_1$$\lambda \in \Sigma_1$ , всех $n$$n$ -арных операций арности больше единицы $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}\setminus <!--\; \setminus \; -->{\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}_1$$\sigma \in \Sigma \setminus \Sigma_1$  и произвольных элементов $g_i\in <!--\; \in \; -->G$$g_i \in G$  выполнено:

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(g_1,\dots <!--\; \dots \; -->,g_i,\dots <!--\; \dots \; -->,g_n)=\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{g}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,g_i,\dots <!--\; \dots \; -->,g_n)=\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(g_1,\dots <!--\; \dots \; -->,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{g}_i,\dots <!--\; \dots \; -->,g_n)=\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(g_1,\dots <!--\; \dots \; -->,g_i,\dots <!--\; \dots \; -->,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{g}_n)$$\lambda \sigma (g_{1},\dots ,g_{i},\dots ,g_{n})=\sigma (\lambda g_{1},\dots ,g_{i},\dots ,g_{n})=\sigma (g_{1},\dots ,\lambda g_{i},\dots ,g_{n})=\sigma (g_{1},\dots ,g_{i},\dots ,\lambda g_{n})$ .

Как и другие мультиоператорные структуры, в тексте часто идентифицируется дополнительной сигнатурой: мультиоператорная $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$ -алгебра (в данном случае и для избежания неоднозначности между алгеброй над кольцом, специальным обобщением которой является, и алгеброй в универсальном смысле).

Идеалами мультиоператорных колец и алгебр являются подгруппы $N◃<!--\; ◃\; -->G$$N \triangleleft G$ , в которых наличие элемента $g_i\in <!--\; \in \; -->N$$g_i \in N$  влечёт содержание в них также всех элементов вида $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(g_1,\dots <!--\; \dots \; -->,g_i,\dots <!--\; \dots \; -->,g_n)\in <!--\; \in \; -->N$$\sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) \in N$ .

ЛитератураПравить

• А. Г. Курош. Группы с мультиоператорами // Лекции по общей алгебре. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1973. — С. 114—124. — 400 с. — 30 000 экз.
• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• И. М. Виноградов. Мультиоператорная группа // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.