Квазианалитическая функция

Квазианалити́ческие фу́нкции в математическом анализе — класс функций, которые, нестрого говоря, можно полностью реконструировать по их значениям на небольшом участке (например, на границе области). Такое свойство значительно облегчает решение дифференциальных уравнений и исследование других задач анализа. Поскольку это свойство выполняется для аналитических функций (см. Комплексный анализ), то класс квазианалитических функций содержит класс обычных аналитических функций и может рассматриваться как его расширение.

ОпределенияПравить

Функции одной переменнойПравить

Один из многих определяющих признаков аналитической функции: пусть функция $f(x)$$f(x)$  неограниченно дифференцируема во всех точках отрезка $[a,b]$$[a,b]$  и пусть существует число $A$$A$  (зависящее от функции) такое, что для всех точек $x\in <!--\; \in \; -->[a,b]$$x\in [a,b]$  выполняется неравенство:

$|f^{(n)}(x)|⩽<!--\; ⩽\; -->A^{n}n!$$|f^{(n)}(x)|\leqslant A^{n}n!$

(1)

Тогда функция $f(x)$$f(x)$  аналитическая (обратная теорема также верна).

Жак Адамар в 1912 году предложил обобщить приведенное неравенство, заменив последовательность $n!$$n!$  на последовательность общего вида $M=\{M_k{\}}_{k=0}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }$  положительных вещественных чисел. Он определил на интервале [a,b] класс функций C^M([a,b]) следующим образом:

Всякая функция $f$$f$  из класса неограниченно дифференцируема (f ∈ C∞([a,b])), причём во всех точках x ∈ [a,b] и для всех $k⩾<!--\; ⩾\; -->0$$k\geqslant 0$  выполняется условие: $\left|\frac{d^{k}f}{d{x}^k}(x)\right|⩽<!--\; ⩽\; -->A^{k}k!M_k$$\left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leqslant A^{k}k!M_{k}$  (2) где A — некоторая константа (зависящая от функции).

Если взять последовательность M_k =1, то, согласно сказанному в начале раздела, мы получим в точности класс обычных вещественных аналитических функций на интервале [a,b].

Класс CM([a,b]) называется квазианалитическим, если для всякой функции f ∈ CM([a,b]) выполнено условие однозначности: если $\frac{d^{k}f}{d{x}^k}(x)=0$${\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)=0$  в некоторой точке x ∈ [a,b] для всех k, то f тождественно равна нулю.

Элементы квазианалитического класса называются квазианалитическими функциями. Приведенное условие означает, что две функции, совпадающие в некоторой точке вместе со всеми своими производными, совпадают всюду. Другими словами, значения функции на произвольно малом участке полностью определяют все её значения.

Функции нескольких переменныхПравить

Для функции $f:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$  и для набора индексов $j=(j_1,j_2,\dots <!--\; \dots \; -->,j_n)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{N}}^n$$j=(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n}$  обозначим:

$|j|=j_1+j_2+\dots <!--\; \dots \; -->+j_n$$|j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n}$ 

$D^j=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^j}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1^{j_1}\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2^{j_2}\dots <!--\; \dots \; -->\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_n^{j_n}}$$D^{j}={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{1}^{j_{1}}\partial x_{2}^{j_{2}}\ldots \partial x_{n}^{j_{n}}}}$ 

$j!=j_1!j_2!\dots <!--\; \dots \; -->j_n!$$j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!$ 

$x^j=x_1^{j_1}{x}_2^{j_2}\dots <!--\; \dots \; -->x_n^{j_n}.$$x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.$ 

Тогда $f$$f$  называется квазианалитической в открытой области $U\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n,$$U\subset \mathbb {R} ^{n},$  если для каждого компактного $K\subset <!--\; \subset \; -->U$$K\subset U$  существует константа $A$$A$  такая, что:

$\left|D^{j}f(x)\right|⩽<!--\; ⩽\; -->A^{|j|+1}j!M_{|j|}$$\left|D^{j}f(x)\right|\leqslant A^{|j|+1}j!M_{|j|}$ 

для всех индексов из набора $j\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{N}}^n$$j\in \mathbb {N} ^{n}$  и во всех точках $x\in <!--\; \in \; -->K$$x\in K$ .

Класс квазианалитических функций от $n$$n$  переменных по отношению к последовательности $M$$M$  на множестве $U$$U$  можно обозначить $C_n^M(U)$$C_{n}^{M}(U)$ , хотя в источниках встречаются и другие обозначения.

Квазианалитические классы для логарифмически выпуклых последовательностейПравить

Предположим, что в приведенном выше определении $M_1=1$$M_{1}=1$  и последовательность $M_k$$M_{k}$  неубывающая. Эта последовательность называется логарифмически выпуклой, если выполняется условие:

Последовательность $\frac{M_{k+1}}{M_k}$${M_{k+1} \over M_{k}}$  возрастает.

Если последовательность $M_k$$M_{k}$  логарифмически выпукла, то:

$(M_k{)}^{1/k}$$(M_{k})^{1/k}$  также возрастает.

$M_r{M}_s⩽<!--\; ⩽\; -->M_{r+s}$$M_{r}M_{s}\leqslant M_{r+s}$  для всех $(r,s)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{N}}^2$$(r,s)\in \mathbb {N} ^{2}$ .

Для логарифмически выпуклой $M$$M$  квазианалитический класс $C_n^M$$C_{n}^{M}$  представляет собой кольцо. В частности, он замкнут относительно умножения и композиции. Последнее означает:

Если $f=(f_1,f_2,\dots <!--\; \dots \; -->f_p)\in <!--\; \in \; -->(C_n^M{)}^p$$f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p}$  и $g\in <!--\; \in \; -->C_p^M$$g\in C_{p}^{M}$ , то $g\circ <!--\; \circ \; -->f\in <!--\; \in \; -->C_n^M$$g\circ f\in C_{n}^{M}$ .

Теорема Данжуа — КарлеманаПравить

Теорема Данжуа — Карлемана была сформулирована и частично решена Арно Данжуа (Denjoy (1921)) и полностью доказана в работе Торстена Карлемана (Carleman (1926)). Эта теорема предоставляет критерий для решения вопроса, при каких последовательностях M функции C^M([a,b]) образуют квазианалитический класс.

Согласно теореме, следующие утверждения равносильны:

• C^M([a,b]) — квазианалитический класс.
• $\sum <!--\; \sum \; -->1/L_j=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},$$\sum 1/L_{j}=\infty ,$  где $L_j=\underset{k\ge <!--\; \ge \; -->j}{inf}(k\cdot <!--\; \cdot \; -->M_k^{1/k})$$L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$ .
• $\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}(j{M}_j^{\ast <!--\; \ast \; -->}{)}^{-<!--\; -\; -->1/j}=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},$$\sum _{j}(jM_{j}^{*})^{-1/j}=\infty ,$  где M_j^* — наибольшая логарифмически выпуклая последовательность, ограниченная сверху M_j.
• $\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{M_{j-<!--\; -\; -->1}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}{(j+1)M_j^{\ast <!--\; \ast \; -->}}=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}.$$\sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_{j}^{*}}}=\infty .$ 

Для доказательства того, что утверждения 3, 4 равносильны 2-му, используется неравенство Карлемана.

Пример: Denjoy (1921) указал, что если $M_n$$M_{n}$  заданы одной из последовательностей

$1,{(\ln <!--\; \; -->n)}^n,{(\ln <!--\; \; -->n)}^n{(\ln <!--\; \; -->\ln <!--\; \; -->n)}^n,{(\ln <!--\; \; -->n)}^n{(\ln <!--\; \; -->\ln <!--\; \; -->n)}^n{(\ln <!--\; \; -->\ln <!--\; \; -->\ln <!--\; \; -->n)}^n,\dots <!--\; \dots \; -->,$$1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\dots ,$ 

то соответствующий класс квазианалитический. Первая последовательность (из единиц) дает обычные аналитические функции.

Дополнительные свойстваПравить

Для логарифмически выпуклой последовательности $M$$M$  имеют место следующие свойства соответствующего класса функций.

• $C^M$$C^{M}$  совпадает с классом аналитических функций тогда и только тогда, когда $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$ .
• Если $N$$N$  — другая логарифмически выпуклая последовательность, у которой $M_j⩽<!--\; ⩽\; -->C^j{N}_j$$M_{j}\leqslant C^{j}N_{j}$  (здесь $C$$C$  — некоторая константа), то $C^M\subset <!--\; \subset \; -->C^N$$C^{M}\subset C^{N}$ .
• $C^M$$C^{M}$  устойчиво по отношению к дифференцированию тогда и только тогда, когда $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$ .
• Для любой неограниченно дифференцируемой функции $f$$f$  можно найти квазианалитические кольца $C^M$$C^{M}$  и $C^N$$C^{N}$  и элементы $g\in <!--\; \in \; -->C^M,h\in <!--\; \in \; -->C^N$$g\in C^{M},h\in C^{N}$  такие, что $f=g+h$$f=g+h$ .

Деление по ВейерштрассуПравить

Определение. Функция $g:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$  называется регулярной порядка $d$$d$  по отношению к $x_n$$x_{n}$ , если $g(0,x_n)=h(x_n)x_n^d$$g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d}$  и $h(0)\ne <!--\; \ne \; -->0$$h(0)\neq 0$ .

Пусть $g$$g$  — регулярная функция порядка $d$$d$  по отношению к $x_n$$x_{n}$ . Говорят, что кольцо $A_n$$A_{n}$  вещественных или комплексных функций от $n$$n$  переменных удовлетворяет делению Вейерштрасса по отношению к $g$$g$ , если для каждой $f\in <!--\; \in \; -->A_n$$f\in A_{n}$  существуют $q\in <!--\; \in \; -->A$$q\in A$  и $h_1,h_2,\dots <!--\; \dots \; -->,h_{d-<!--\; -\; -->1}\in <!--\; \in \; -->A_{n-<!--\; -\; -->1}$$h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}$  такие, что:

$f=gq+h$$f=gq+h$ , где $h(x^{\prime },x_n)=\underset{j=0}{\overset{d-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{h}_j(x^{\prime })x_n^j$$h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}$ .

Пример: кольцо аналитических функций и кольцо формальных степенных рядов оба удовлетворяют свойству деления Вейерштрасса. Если, однако, $M$$M$  логарифмически выпукло и $C^M$$C^{M}$  не совпадает с классом аналитических функций, то $C^M$$C^{M}$  не удовлетворяет свойству деления Вейерштрасса по отношению к $g(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=x_1+x_2^2$$g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2}$ .

ИсторияПравить

Ключевой вопрос данной темы — способность аналитической функции однозначно восстанавливать свой «глобальный облик» по значениям самой функции и её производных в произвольной регулярной точке. Эмиль Борель первым обнаружил, что это свойство имеет место не только для аналитических функций.

В 1912 году Жак Адамар сформулировал вопрос: какой должна быть последовательность $M_n,$$M_{n},$  чтобы приведенное выше «условие однозначности» выполнялось для любой пары функций из соответствующего класса. Арно Данжуа в 1921 году привёл достаточные условия квазианалитичности и ряд примеров квазианалитичных классов (см. Denjoy (1921)). Полное решение проблемы дал пять лет спустя Торстен Карлеман (см. Carleman (1926)), установивший необходимые и достаточные условия квазианалитичности.

В дальнейшем С. Н. Бернштейн и Ш. Мандельбройт обобщили понятие квазианалитичности на классы недифференцируемых и даже разрывных функций. Простейший пример — совокупность решений линейного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами; функции, входящие в это решение, вообще говоря, не обладают бесконечным числом производных..

ЛитератураПравить

• Горный А. Квази-аналитические функции // Успехи математических наук. — М., 1938. — № 5. — С. 171–186.
• Леонтьев А. Ф. Квазианалитический класс функций // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 798—800.
• Мандельбройт С. Квазианалитические классы функций. — М.—Л.: ОНТИ НКТП, 1937.
• Мандельбройт С. Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей. Применения, пер. с франц., М.: Иностранная литература, 1955.
• Carleman, T. (1926), Les fonctions quasi-analytiques, Gauthier-Villars   (фр.)
• Denjoy, A. (1921), Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle, C. R. Acad. Sci. Paris Т. 173: 1329–1331 
• Hörmander, Lars (1990), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1 
• Leont'ev, A. F. Quasi-analytic class // Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.

СсылкиПравить

• Cohen, Paul J. (1968), A simple proof of the Denjoy-Carleman theorem, The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) . — Т. 75 (1): 26–31, ISSN 0002-9890, DOI 10.2307/2315100