Квадратурный зеркальный фильтр

Квадратурный зеркальный фильтр ( англ. Quadrature Mirror Filter - QMF) – это фильтр, чья амплитудная характеристика представляет собой зеркальное отражение относительно $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2$$\pi/2$ амплитудной характеристики другого фильтра. Был изобретён C. Galand в сотрудничестве с D. Esteband и Croiser. Главной задачей фильтра является численная обработка сигналов и разложение сигнала на поддиапазоны. На выходе фильтр выдаёт изометрическое разложение сигнала на низкие и высокочастотные части.

Большая вероятность того, что любой входной сигнал может быть восстановлен на основе выходных сигналов, если фильтры находятся в парах. Высокочастотный фильтр связан с фильтром низких частот, вместе образуя Квадратурный зеркальный фильтр. Они служат зеркальным отражением друг друга.

СвойстваПравить

Используя такие понятие как:

• Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) сигнала: $X(w)=\underset{n}{\overset{}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_n{e}^{-<!--\; -\; -->inw}$$X(w)=\sum _{n}^{}x_{n}e^{-inw}$ 
• Z-преобразование сигнала: $X(z)=\underset{n}{\overset{}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_n{z}^{-<!--\; -\; -->n}$$X(z)=\sum _{n}^{}x_{n}z^{-n}$ 
• Преобразование Фурье функции $x(t)$$x(t)$  имеет вид $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}(w)=\frac{1}{2\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}x(t)e^{-<!--\; -\; -->iwx}dt$${\hat {x}}(w)={\frac {1}{2\Pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\!x(t)e^{-iwx}\,dt$ 

${\displaystyle }$

используя эти термины, фильтр можно записать следующим образом

$Y(w)=H(w)X(w)$$Y(w)=H(w)X(w)$ 
или
$Y(z)=H(z)X(z)$$Y(z)=H(z)X(z)$ 

фильтр $H(z)$$H(z)$  будет называться квадратурным зеркальным фильтром фильтра $H(w)$$H(w)$ , при условии что $H(z)=H(-<!--\; -\; -->w)$$H(z)=H(-w)$ , собственно поэтому фильтр получил такое название.

Спектр высокочастотного фильтра $H(e^{iw})$$H(e^{iw})$  это зеркальное отражение низко частотного фильтра со спектральной точкой перехода $w=\frac{\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}{2}$$w={\frac {\Pi }{2}}$  как показано на картинке.

Мы хотим найти два фильтра, $h$$h$  (подавляющий высокие частоты) и $g$$g$  (подавляющий низкие частоты), которые позволяли бы разложить сигнал на две компоненты, $X_H(z)$$X_{H}(z)$  и $X_G(z)$$X_{G}(z)$  , вдвое их проредить (половина значений становится лишней – ведь частотный диапазон сократился вдвое!), а затем, с помощью транспонированных фильтров, точно восстановить по этим данным исходный сигнал (эту операцию можно применять рекурсивно). Условия на искомые фильтры удобно записать в терминах z-преобразования.

Пусть $Y(z)$$Y(z)$  z-преобразование одного из компонентов. Перед кодированием он прореживается вдвое, а перед восстановлением исходного сигнала доводится до исходной длины вставкой нулей между соседними значениями. При этом z-преобразование из $Y(z)$$Y(z)$  превращается в $\frac{1}{2}(Y(z)+Y(-<!--\; -\; -->z))$${\frac {1}{2}}(Y(z)+Y(-z))$ . Подставим сюда фильтр упомянутый выше для каждого из фильтров, и получим z-преобразованный компонент перед восстановлением:

$X_H(z)⟶<!--\; ⟶\; -->\frac{1}{2}(H(z)X(z)+H(-<!--\; -\; -->z)X(-<!--\; -\; -->z))$$X_{H}(z)\longrightarrow {\frac {1}{2}}(H(z)X(z)+H(-z)X(-z))$ 
$X_G(z)⟶<!--\; ⟶\; -->\frac{1}{2}(G(z)X(z)+G(-<!--\; -\; -->z)X(-<!--\; -\; -->z))$$X_{G}(z)\longrightarrow {\frac {1}{2}}(G(z)X(z)+G(-z)X(-z))$ 

z-преобразования транспонированных фильтров имеют вид $H(z^{-<!--\; -\; -->1})$$H(z^{-1})$  и $G(z^{-<!--\; -\; -->1})$$G(z^{-1})$ . Сигнал восстановится с их помощью точно, если:

$X(z)=[\frac{1}{2}(H(z^{-<!--\; -\; -->1})H(z)G(z^{-<!--\; -\; -->1})G(z)X(z))$$X(z)=[{\frac {1}{2}}(H(z^{-1})H(z)G(z^{-1})G(z)X(z))$  $+\frac{1}{2}(H(z^{-<!--\; -\; -->1})H(z)G(z^{-<!--\; -\; -->1})G(z)X(-<!--\; -\; -->z))]$$+{\frac {1}{2}}(H(z^{-1})H(z)G(z^{-1})G(z)X(-z))]$ 

Получаем условия точного восстановления (Perfect reconstruction, (англ.))

$H(z^{-<!--\; -\; -->1})H(z)+G(z^{-<!--\; -\; -->1})G(z)=2$$H(z^{-1})H(z)+G(z^{-1})G(z)=2$ 
$H(z^{-<!--\; -\; -->1})H(-<!--\; -\; -->z)+G(z^{-<!--\; -\; -->1})G(-<!--\; -\; -->z)=0$$H(z^{-1})H(-z)+G(z^{-1})G(-z)=0$ 

В матричной форме они записываются так:
$M(z)(M(z^{-<!--\; -\; -->1}){)}^t$$M(z)(M(z^{-1}))^{t}$  = ${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}2&0\\0&2\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$  $=2E$$=2E$ 

где

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}H(z)&G(z)\\H(-z)&G(-z)\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$ 

подставив $z=e^{iw}$$z=e^{iw}$ , получим условия ДПФ искомых фильтров:

• ${\left|H(w)\right|}^2+{\left|G(w)\right|}^2\equiv <!--\; \equiv \; -->2$$\left\vert H(w)\right\vert ^{2}+\left\vert G(w)\right\vert ^{2}\equiv 2$ 
• $H(w)H(w+\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->})+G(w)G(w+\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->})$$H(w)H(w+\Pi )+G(w)G(w+\Pi )$ 

допустим, что мы нашли $h$$h$  такой что:

• ${\left|H(w)\right|}^2+{\left|G(w+\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->})\right|}^2\equiv <!--\; \equiv \; -->2$$\left\vert H(w)\right\vert ^{2}+\left\vert G(w+\Pi )\right\vert ^{2}\equiv 2$ 
  
• $G(w)=-<!--\; -\; -->e^{iw}H(w+\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->})$$G(w)=-e^{iw}H(w+\Pi )$ 

История созданияПравить

C. Galand был мотивирован тем, что есть возможность улучшение цифрового телефона, технология которого включает в себя передачи речевых сигналов в виде последовательностей 0 и 1. Но как заметил Galand, эти методы выходят далеко за рамки цифровой речи, так как факсимильная связь видео, базы данных, и многие другие формы информации используют телефонные линии для передачи информации. В настоящее время количество битов, которое используется для телефонной передачи составляет хорошо известные 64 килобита в секунду. Galand пытался, использовать методы кодирования для передачи речи значительно ниже этого стандарта, которые адаптированы к речевым сигналам.

ПрименениеПравить

Квадратурный зеркальный фильтр позволяет избежать последствий сглаживания из-за прореживанья образцов, когда сигнал разделён на поддиапазоны. Каждый поддиапазон затем кодируются независимо с использованием компандирования импульсно-кодовой модуляции квантователей. Поэтому переменное число бит отводится для каждого поддиапазонного квантователя для того, чтобы воспользоваться относительного последствия ошибки квантования.

Квадратурный зеркальный фильтр широко используется в областях обработки сигналов, таких как:

• Поддиапазонное кодирование речи
• Обработка изображения,
• Обработка речи
• Сжатия изображения,
• Выравнивание каналов беспроводной связи, кодирование источника для аудио и видео сигналов,
• Дизайн вейвлетных базисов,
• Поддиапазонное подавление эха и дискретная системы многотоновой модуляции

См. такжеПравить

• Вейвлет
• Банк цифровых фильтров

СсылкиПравить

• Леонид Левкович-Маслюк, Антон Переберин Введение в вейвлет-анализ Архивная копия от 23 апреля 2014 на Wayback Machine (рус.)
• S. K. Agrawal and O. P. Sahu, Two-Channel Quadrature Mirror Filter Bank: An Overview Архивная копия от 22 апреля 2014 на Wayback Machine (англ.)
• Amrita Khera, Mr.Sachin bandewaer, Mr. Anand kumar singh, QMF FILTER DESIGN USING FOURIER AND WAVELET TRANSFORM Архивная копия от 23 апреля 2014 на Wayback Machine (англ.)
• Suverna Sengar, Dr. Partha Pratim Bhattacharya, Design and Performance Evaluation of a Quadrature Mirror Архивная копия от 23 октября 2015 на Wayback Machine (англ.)
• Jean-Pierre Renard, Henri Leich, Design of pseudo-quadrature mirror filter bank for high quality subband coding (англ.)
• Anamika Jain, Aditya Goel, Unconstrained Optimization Method to Design Two Channel Quadrature Mirror Filter Banks for Image Coding (англ.)