Калибровочная дифференциальная форма

Калибровочная форма — дифференциальная форма на римановом многообразии. Инструмент в теории минимальных поверхностей позволяющий доказать минимальность площади.

ОпределениеПравить

Замкнутая $k$$k$ -форма $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  на римановом многообразии $(M,g)$$(M,g)$  назыетеся калибровочной если для любой ортонормированной системы из $k$$k$  векторов $e_1,\dots <!--\; \dots \; -->,e_k$$e_{1},\dots ,e_{k}$  выполняется неравенство

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(e_1\wedge <!--\; \wedge \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\wedge <!--\; \wedge \; -->e_k)\le <!--\; \le \; -->1.$$\phi (e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})\leq 1.$ 

При этом если для $k$$k$ -мерного подмногообразие $L$$L$  в $(M,g)$$(M,g)$  достигается равенство

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(e_1\wedge <!--\; \wedge \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\wedge <!--\; \wedge \; -->e_k)=1.$$\phi (e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})=1.$ 

для ортонормированного базиса в каждом касательном пространстве к $L$$L$ , то говорят, что $L$$L$  калибруется $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$ .

СвойстваПравить

Если $k$$k$ -мерного подмногообразие $L$$L$  в $(M,g)$$(M,g)$  калибруется формой $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$ , то $L$$L$  минимизирует площадь среди всех ему гомологичных подмногообразий. Действительно, предположим $L$$L$  гомологично $L^{\prime }$$L'$ , тогда

${\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_k(L)={\int <!--\; \int \; -->}_L\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}={\int <!--\; \int \; -->}_{L^{\prime }}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\le <!--\; \le \; -->{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_k(L^{\prime }).$$\mathrm {vol} _{k}(L)=\int _{L}\varphi =\int _{L'}\varphi \leq \mathrm {vol} _{k}(L').$ 

где первое равенство держится, потому что $L$$L$  калибруется $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$ , второе равенство — по теореме теореме Стокса, а последнее неравенство справедливо, поскольку $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  — калибровочная форма.

ПримерыПравить

• На кэлеровом многообразии, кэлерова форма является калибровочной; она калибрует комплексные подмногообразия.
• На многообразии Калаби — Яу, вещественная часть голоморфной формы объёма (соответственно нормализованная) является калибровочной формой; она калибрует специальные Лагранжевы подмногообразия.
• На G2-многообразии, 3-форма и ей двойственная 4-форма являются калибровочными.
• На $Spin(7)$$Spin(7)$ -многообразиях, 4-форма Кэли, является калибровочной.

СсылкиПравить

• Bonan, Edmond (1965), Structure presque quaternale sur une variété différentiable, C. R. Acad. Sci. Paris Т. 261: 5445–5448 
• Bonan, Edmond (1966), Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin(7), C. R. Acad. Sci. Paris Т. 262: 127–129 .
• Berger, M. (1970), Quelques problemes de geometrie Riemannienne ou Deux variations sur les espaces symetriques compacts de rang un, Enseignement Math. Т. 16: 73–96 .
• Brakke, Kenneth A. (1991), Minimal cones on hypercubes, J. Geom. Anal.: 329–338 (§6.5) .
• Brakke, Kenneth A. (1993), Polyhedral minimal cones in R4 .
• de Rham, Georges (1957–1958), On the Area of Complex Manifolds. Notes for the Seminar on Several Complex Variables .
• Federer, Herbert (1965), Some theorems on integral currents, Transactions of the American Mathematical Society Т. 117: 43–67 .
• Joyce, Dominic D. (2007), Riemannian Holonomy Groups and Calibrated Geometry .
• Harvey, F. Reese (1990), Spinors and Calibrations .
• Kraines, Vivian Yoh (1965), Topology of quaternionic manifolds, Bull. Amer. Math. Soc. Т. 71,3, 1: 526–527 .
• Lawlor, Gary (1998), Proving area minimization by directed slicing, Indiana U. Math. J. Т. 47: 1547–1592 .
• Morgan, Frank, Lawlor, Gary (1996), Curvy slicing proves that triple junctions locally minimize area, J. Diff. Geom. Т. 44: 514–528 .
• Morgan, Frank, Lawlor, Gary (1994), Paired calibrations applied to soap films, immiscible fluids, and surfaces or networks minimizing other norms, Pac. J. Math. Т. 166: 55–83 .
• McLean, R. C. (1998), Deformations of calibrated submanifolds, Communications in Analysis and Geometry Т. 6: 705–747 .
• Morgan, Frank (1988), Area-minimizing surfaces, faces of Grassmannians, and calibrations, Amer. Math. Monthly Т. 95: 813–822 .
• Morgan, Frank (1990), Calibrations and new singularities in area-minimizing surfaces: a survey In "Variational Methods" (Proc. Conf. Paris, June 1988), (H. Berestycki J.-M. Coron, and I. Ekeland, Eds.), Prog. Nonlinear Diff. Eqns. Applns Т. 4: 329–342 .
• Morgan, Frank (2009), Geometric Measure Theory: a Beginner's Guide .
• Thi, Dao Trong (1977), Minimal real currents on compact Riemannian manifolds, Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat Т. 41: 807–820 .
• Van, Le Hong (1990), Relative calibrations and the problem of stability of minimal surfaces, Lecture Notes in Mathematics Т. 1453: 245–262 .
• Wirtinger, W. (1936), Eine Determinantenidentität und ihre Anwendung auf analytische Gebilde und Hermitesche Massbestimmung, Monatshefte für Mathematik und Physik Т. 44: 343–365 (§6.5) .