Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

$\begin{array}{c}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{array}(1),$${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}}\qquad (1),$

где функции $P(t,x)$$P(t,x)$ и $Q(t,x)$$Q(t,x)$ определены и непрерывны в некоторой области $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->{\mathbb{R}}_{t,x}^2$$\Omega \subseteq {\mathbb {R}}_{{t,x}}^{2}$.

Уравнения в полных дифференциалахПравить

Если в уравнении (1) левая часть представляет собой полный дифференциал, то есть $\begin{array}{c}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=dU(t,x)\end{array}$${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=dU(t,x)\end{matrix}}$ , то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах (частный случай так называемого пфаффова уравнения). Интегральные кривые такого уравнения суть линии уровней функции $U(t,x)$$U(t,x)$ , т.е. определяются уравнением $U(t,x)=C$$U(t,x)=C$  при всевозможных значениях произвольной постоянной $C$$C$ .

Если в области $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  выполнено условие $Q(t,x)\ne <!--\; \ne \; -->0$$Q(t,x)\neq 0$  , то общее решение уравнения (1) определяется из уравнения $U(t,x)=C$$U(t,x)=C$  как неявная функция $x=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t,C)$$x=\varphi (t,C)$ . Через каждую точку области $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  проходит единственная интегральная кривая $x=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t,C)$$x=\varphi (t,C)$  уравнения (1).

Если рассматриваемая область $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  односвязна, а производные $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}P}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x},\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}Q}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}$${\frac {\partial P}{\partial x}},{\frac {\partial Q}{\partial t}}$ также непрерывны в $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ , то для того, чтобы (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}P}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}Q}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}(t,x)\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$${\frac {\partial P}{\partial x}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}\qquad \forall (t,x)\in \Omega$ 

(признак уравнения в полных дифференциалах).

Интегрирующий множительПравить

Непрерывная функция $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(t,x)\ne <!--\; \ne \; -->0$$\mu (t,x)\neq 0$  в $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  называется интегрирующим множителем уравнения (1), если уравнение $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(Pdt+Qdx)=0$$\mu (Pdt+Qdx)=0$  является уравнением в полных дифференциалах, то есть $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(Pdt+Qdx)=dU$$\mu (Pdt+Qdx)=dU$  для некоторой функции $U(t,x)$$U(t,x)$ . Число интегрирующих множителей данного уравнения бесконечно.

Функция $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(t,x)$$\mu (t,x)$  является интегрирующим множителем уравнения (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\left(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}P\right)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\left(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}Q\right)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\left(2\right)$${\frac {\partial {\left(\mu P\right)}}{\partial x}}={\frac {\partial {\left(\mu Q\right)}}{\partial t}}\qquad \left(2\right)$ 

(область $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  по-прежнему полагаем односвязной; уравнение (2) является следствием признака уравнения в полных дифференциалах).

Уравнение (2) в общем виде решается сложнее, чем (1), но для интегрирования (1) достаточно знать один интегрирующий множитель, то есть найти какое-либо одно решение уравнения (2). Обычно ищут решение (2) в виде $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(t)$$\mu =\mu (t)$  или $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(x)$$\mu =\mu (x)$ , но это не всегда возможно.

Алгоритм решенияПравить

(1) $\begin{array}{c}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{array}$${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}}$ 

(2) $\begin{array}{c}{P}_x^{\prime }(t,x)=Q_t^{\prime }(t,x)\end{array}$${\begin{matrix}P'_{x}(t,x)=Q'_{t}(t,x)\end{matrix}}$ 

(3) $\begin{array}{c}{U}_t^{\prime }=P(t,x),U_x^{\prime }=Q(t,x)\end{array}$${\begin{matrix}U'_{t}=P(t,x),U'_{x}=Q(t,x)\end{matrix}}$ 

Возьмём (3).1 и проинтегрируем по переменной t:

(*) $\begin{array}{c}U(t,x)=\int <!--\; \int \; -->P(t,x)dt+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)\end{array}$${\begin{matrix}U(t,x)=\int P(t,x)dt+\varphi (x)\end{matrix}}$ 

Подставим в (3).2:

$\begin{array}{c}{U}_x^{\prime }(t,x)=(\int <!--\; \int \; -->P(t,x)dt{)}_x^{\prime }+{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_x^{\prime }(x)\end{array}$${\begin{matrix}U'_{x}(t,x)=(\int P(t,x)dt)'_{x}+\varphi '_{x}(x)\end{matrix}}$ 

В получившемся равенстве слагаемые, содержащие t, уничтожатся. Получим: $\begin{array}{c}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_x^{\prime }(x)=g(x)\end{array}$${\begin{matrix}\varphi '_{x}(x)=g(x)\end{matrix}}$ . Проинтегрируем по x и подставим в (*).

Уравнения с разделяющимися переменнымиПравить

Если в уравнении (1) $P(t,x)=T_1(t)X_1(x),Q(t,x)=T_2(t)X_2(x)$$P(t,x)=T_{1}(t)X_{1}(x),\ Q(t,x)=T_{2}(t)X_{2}(x)$ , то это уравнение с разделяющимися переменными. Его можно записать в симметричном виде:

$T_1(t)X_1(x)dt+T_2(t)X_2(x)dx=0\left(3\right)$$T_{1}(t)X_{1}(x)dt+T_{2}(t)X_{2}(x)dx=0\qquad \left(3\right)$ 

• Решения уравнения с разделяющимися переменными
  • Решения уравнения $X_1(x)T_2(t)=0$$X_{1}(x)T_{2}(t)=0$  являются решениями (3).
  • Если область $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  выбрана так, что $X_1(x)T_2(t)\ne <!--\; \ne \; -->0\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}(t,x)\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$X_{1}(x)T_{2}(t)\neq 0\quad \forall (t,x)\in \Omega$ , то разделив на $X_1(x)T_2(t)$$X_{1}(x)T_{2}(t)$  получим уравнение с разделёнными переменными

$\frac{T_1}{T_2}dt+\frac{X_2}{X_1}dx=0.$${\frac {T_{1}}{T_{2}}}dt+{\frac {X_{2}}{X_{1}}}dx=0.$ 

Это частный случай уравнения в полных дифференциалах. Для него очень просто получить решение в квадратурах. Интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку $(t_0,x_0)\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$(t_{0},x_{0})\in \Omega$ , имеет вид:

$\underset{t_0}{\overset{t}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{T_1}{T_2}dt+\underset{x_0}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{X_2}{X_1}dx=0.$$\int \limits _{t_{0}}^{t}{{\frac {T_{1}}{T_{2}}}dt}+\int \limits _{x_{0}}^{x}{{\frac {X_{2}}{X_{1}}}dx}=0.$ 

Пример дифференциального уравненияПравить

$y^{\prime }=\frac{y}{x}+co{s}^2\frac{y}{x}$$y'={\frac {y}{x}}+cos^{2}{\frac {y}{x}}$