Интеграл Борвейна

Интегралы Борвейна — интегралы, рассмотренные Дэвидом и Джонатаном Борвейнами, в которых задействована функция sinc.

В этих интегралах появляется интересная закономерность, которая в конце исчезает:

${\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\pi /2\\[10pt]&\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx=\pi /2\\[10pt]&\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx=\pi /2\end{aligned}}$

Эта закономерность продолжается до

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{\sin <!--\; \; -->(x)}{x}\frac{\sin <!--\; \; -->(x/3)}{x/3}\cdots <!--\; \cdots \; -->\frac{\sin <!--\; \; -->(x/13)}{x/13}dx=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2.$$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx=\pi /2~.$

Но на следующем шаге она нарушается:

${\begin{aligned}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}~.\end{aligned}}$

В общем случае, такие интегралы равны π2, если сумма обратных к числам 3, 5, 7, … 2k-1, где k — число сомножителей, меньше единицы.

В нашем примере 13 + 15 + … + 113 < 1, но 13 + 15 + … + 115 > 1.

Пример более длинного ряда:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}2\cos <!--\; \; -->(x)\frac{\sin <!--\; \; -->(x)}{x}\frac{\sin <!--\; \; -->(x/3)}{x/3}\cdots <!--\; \cdots \; -->\frac{\sin <!--\; \; -->(x/111)}{x/111}dx=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2$$\int \limits _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx=\pi /2$,

но

$\int \limits _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx<\pi /2,$

как показано в статье Шмида Ханспетера. В этом случае это связано с тем, что 13 + 15 + … + 1111 < 2, но 13 + 15 + … + 1113 > 2.

Джонатан Борвейн, зная, что закономерность нарушается на восьмом элементе, написал в службу поддержки программного пакета Maple заявку о «баге». У разработчика Жака Каретта заняло трое суток понять, что это не ошибка.