Инволюция (математика)

Инволю́ция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — преобразование, которое является обратным самому себе. Часто дополнительно предполагается, что инволюция — это нетождественное отображение.

Инволюция

ОпределениеПравить

Функция $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->X$$f\colon X\to X$  называется инволюцией, если $f(f(x))=x$$f(f(x)) = x$  для всякого $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ .

СвойстваПравить

• Любая инволюция — это биекция.

• Композиция $f\circ <!--\; \circ \; -->g$${f}\circ {g}$  двух инволюций $f$$f$  и $g$$g$  является инволюцией тогда и только тогда, когда они коммутируют: $f\circ <!--\; \circ \; -->g=g\circ <!--\; \circ \; -->f$${f}\circ {g}=g\circ f$ .

ПримерыПравить

• $f(x)=-<!--\; -\; -->x$$f(x) = -x$ , заданная на множестве целых $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$ , рациональных $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$  или вещественных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ ;
• простейшие инволюции на множестве вещественных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ :

  $\frac{a}{x}$${\dfrac {a}{x}}$ , $a-<!--\; -\; -->x$$a-x$ , $\frac{x}{x-<!--\; -\; -->1}$${\dfrac {x}{x-1}}$ , $\frac{x+1}{x-<!--\; -\; -->1}$${\dfrac {x+1}{x-1}}$ , $\frac{x-<!--\; -\; -->1}{x+1}$${\dfrac {x-1}{x+1}}$ , $\frac{ax+b}{cx-<!--\; -\; -->a}$${\dfrac {ax+b}{cx-a}}$ ;

• $f(x)=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}$$f(x)= \bar{x}$  — дополнение множества, заданная для подмножеств некоторого универсального множества $U$$U$ ;
• $f(x)=\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}x$$f(x)= \neg x$  — логическое отрицание булевой алгебры;
• Среди движений плоскости есть два типа нетривиальных инволюций: центральная и зеркальная симметрии.
  • Таким образом инволюции соответствуют прямым и точкам — основным объектам планиметрии. На этом наблюдении основана аксиоматика Бахмана.
• инверсия;
• комплексное сопряжение;
• преобразование Лежандра
• Перестановка $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  является инволюцией, если $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=id$$\tau\circ\tau=id$ , каждая инволюция является произведением непересекающихся транспозиций, например:

  $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 5 & 7 & 4 & 3 & 1 & 8 & 2 & 6\end{pmatrix} = (1,5)(2,7)(3,4)(6,8)$ .

  • Число инволюций в группе перестановок порядка $n$$n$  определяется по формулам:

    $a(0)=1,a(1)=1,a(n)=a(n-<!--\; -\; -->1)+(n-<!--\; -\; -->1)a(n-<!--\; -\; -->2),n>1$$a(0)=1,\ a(1)=1,\ a(n)=a(n-1)+(n-1)a(n-2),\ n>1$  (рекуррентная формула),

    $a(n)=\underset{k=0}{\overset{[n/2]}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{n!}{2^k\cdot <!--\; \cdot \; -->(n-<!--\; -\; -->2k)!\cdot <!--\; \cdot \; -->k!}$$a(n) = \sum_{k=0}^{[ n/2 ]}{\frac{n!}{2^k\cdot (n-2k)!\cdot k!}}$ ,

(первые значения $a(n)$$a(n)$ : 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, 35 696, 140 152).