Аксиоматика Бахмана

Аксиоматика Бахмана — система аксиом нейтральной и Евклидовой геометрий, построенная на понятии групп движений. Предложенная Фридрихом Бахманом.

ОбозначенияПравить

Переместительность двух элементов в группе, то есть выполнение тождества $a\cdot <!--\; \cdot \; -->b=b\cdot <!--\; \cdot \; -->a$$a\cdot b=b\cdot a$  будет обозначаться $a|b$$a|b$ ; при этом $a,b|c,d$$a,b|c,d$  означает одновременное выполнение $a|c$$a|c$ , $a|d$$a|d$ , $b|c$$b|c$  и $b|d$$b|d$ .

Дана группа $\mathfrak{G}$${\mathfrak {G}}$  с выделенной инвариантной системой образующих $\mathfrak{S}$${\mathfrak {S}}$  состоящая из инволютивных элементов. Элементы из $\mathfrak{S}$${\mathfrak {S}}$  обозначаются малыми латинскими буквами. Те инволютивные элементы из $\mathfrak{G}$${\mathfrak {G}}$ , которые представимы как произведение двух элементов из $\mathfrak{S}$${\mathfrak {S}}$  (то есть элементы вида $a\cdot <!--\; \cdot \; -->b$$a\cdot b$ , где $a,b\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{S}$$a,b\in {\mathfrak {S}}$ ) обозначаются большими латинскими буквами.

Нейтральная геометрияПравить

Аксиома 1. Для любых $P$$P$ , $Q$$Q$  найдется $g$$g$  такой, что $P,Q|g$$P,Q|g$ .

Аксиома 2. Из $P,Q|g,h$$P,Q|g,h$  следует, что $P=Q$$P=Q$  или $g=h$$g=h$ .

Аксиома 3. Если $a,b,c|P$$a,b,c|P$ , то существует элемент $d$$d$  такой,что $a\cdot <!--\; \cdot \; -->b\cdot <!--\; \cdot \; -->c=d$$a\cdot b\cdot c=d$ .

Аксиома 4. Если $a,b,c|g$$a,b,c|g$ , то существует элемент $d$$d$  такой,что $a\cdot <!--\; \cdot \; -->b\cdot <!--\; \cdot \; -->c=d$$a\cdot b\cdot c=d$ .

Аксиома D. Существуют $g,h,j$$g,h,j$  такие, что $g|h$$g|h$ , и не имеет места ни одно из соотношений $j|g$$j|g$ , $j|h$$j|h$ , $j|g\cdot <!--\; \cdot \; -->h$$j|g\cdot h$ .

Связь с обычными аксиомамиПравить

Этой системе аксиом удовлетворяют группы евклидовой и неевклидовых плоскостей, если принять за $\mathfrak{S}$${\mathfrak {S}}$  множество осевых симметрии. При этом те инволютивные элементы группы, которые представимы как произведение двух элементов из $\mathfrak{S}$${\mathfrak {S}}$ , окажутся при этом центральными симметриями.

Таким образом множество $\mathfrak{S}$${\mathfrak {S}}$  можно отождествить с множеством прямых на плоскости, а множество инволютивных элементов группы представимых как произведение двух элементов из $\mathfrak{S}$${\mathfrak {S}}$  с множеством точек.

При этом,

• соотношение $P|a$$P|a$  означает то что точка $P$$P$  лежит на прямой $a$$a$ .
• соотношение $a|b$$a|b$  означает то что прямая $a$$a$  перпендикулярна прямой $b$$b$ ;
  • в этом случае $P=a\cdot <!--\; \cdot \; -->b$$P=a\cdot b$  есть точка пересечения $a$$a$  и $b$$b$ .

Евклидова геометрияПравить

Система для евклидовой геометрии пополняется двумя аксиомами

Аксиома R. Из $a,b|c$$a,b|c$  и $a|d$$a|d$  следует $b|d$$b|d$ .

Аксиома V. Для любых $a,b$$a,b$  всегда найдется $C$$C$ , что $a,b|C$$a,b|C$ , или найдется такая прямая $c$$c$ , что $a,b|c$$a,b|c$ .