Задача плоской деформации

Задача плоской деформации — ряд задач, рассматриваемых в теории упругости и теории пластичности. В ней рассматриваются вопросы, отличающиеся по содержанию, но объединенные математическим методом решения.

В задаче о плоской деформации рассматривается частное решение уравнений теории упругости, в котором перемещения $u,v$$u,v$ предполагаются не зависящими от координаты $x_3=z$$x_{3}=z$, тогда как $w$$w$ не зависит от $x,y$$x,y$, а его зависимость от $z$$z$ может быть линейной:

$u=u(x,y),v=v(x,y),w=ez+w_0(1)$$u=u(x,y),\quad v=v(x,y),\quad w=ez+w_{0}\qquad (1)$

Очевидным следствием этих предположений является отсутствие напряжений ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{zx},{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{yz}$$\tau _{zx},\tau _{yz}$:

${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{zx}=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\right)=0,{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{yz}=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}v}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\right)=0$$\tau _{zx}=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)=0,\quad \tau _{yz}=\mu \left({\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}\right)=0$

и независимость от z остающихся компонент ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x,{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y,{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{xy},{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_z$$\sigma _{x},\sigma _{y},\tau _{xy},\sigma _{z}$ тензора напряжений.

Плоская деформация реализуется, например, в призматическом теле, теоретически бесконечной длины, нагруженном поверхностными и объемными силами, перпендикулярными оси z. Тогда все поперечные сечения тела находятся в одинаковых условиях, чем оправдывается задание перемещений в форме (1). Это позволяет вместо рассмотрения всей области, занятой телом, ограничиться рассмотрением его элемента, выделенного двумя поперечными сечениями, расстояние между которыми равно единице. Главный вектор и главный момент относительно оси $x_3$$x_{3}$ внешних сил, приложенных к элементу, по условию должны обращаться в нуль. Исходя из равенств (1) и закона Гука, можно получить значения компонент тензора деформаций.