Задача о предписанной скалярной кривизне

Задача о предписанной скалярной кривизне заключается в построении римановой метрики с заданной скалярной кривизной. Эта задача в основном решена в статье Каждана и Уорнера.

ФормулировкаПравить

Для данного закрытого, гладкого многообразия $M$$M$  и гладкой вещественной функции $f:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon M\to \mathbb {R}$  построить риманову метрику на $M$$M$ , для которой скалярная кривизна равна $f$$f$ .

РешенияПравить

• Если размерность многообразия $M$$M$  три или выше, то любая гладкая функция $f:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon M\to \mathbb {R}$ , принимающая отрицательное значение является скалярной кривизной некоторой римановой метрики.

Предположение о том, что $f$$f$  должна быть отрицательна в каких-то точках, необходимо, поскольку не все многообразия допускают метрику со строго положительной скалярной кривизной. Например, таким является трёхмерный тор. Однако верно следующее.

• Если $M$$M$  допускает одну метрику со строго положительной скалярной кривизной, то любая гладкая функция $f:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon M\to \mathbb {R}$  является скалярной кривизной некоторой римановой метрики на $M$$M$ .

См. такжеПравить

•   Задача Ямабе