Задача Куратовского

Задача Куратовского — классическое упражнение в общей топологии, основанное на результате Казимира Куратовского.

ФормулировкиПравить

ОригинальнаяПравить

Найти максимальное число различных множеств, которые можно получить из одного применяя только операции замыкания и дополнения.

ВариацияПравить

Найти максимальное число различных множеств, которые можно получить из одного применяя только операции замыкания и внутренности.

РешениеПравить

Ответы в задачах соответственно 14 и 7. В обоих формулировках, максимальное число подмножеств достигается для следующего подмножества вещественной прямой с обычной топологией:

$(0,1)\cup <!--\; \cup \; -->(1,2)\cup <!--\; \cup \; -->\{3\}\cup <!--\; \cup \; -->([4,5]\cap <!--\; \cap \; -->\mathbb{Q}),$$(0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup {\bigl (}[4,5]\cap \mathbb {Q} {\bigr )},$ 

Для второй формулировки, максимальность следует из соотношений на замыкание $c$$c$  и внутренность $i$$i$ 

$cc(S)=c(S),$$cc(S)=c(S),$ 

$ii(S)=i(S),$$ii(S)=i(S),$ 

$icic(S)=ic(S),$$icic(S)=ic(S),$ 

$cici(S)=ci(S).$$cici(S)=ci(S).$ 

Последние два тождества легко следуют из первых двух и следующих двух соотношений:

если $A\subset <!--\; \subset \; -->B$$A\subset B$ , то $c(A)\subset <!--\; \subset \; -->c(B)$$c(A)\subset c(B)$  и $i(A)\subset <!--\; \subset \; -->i(B)$$i(A)\subset i(B)$ .

Поскольку $i(S{)}^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}=c(S^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}})$$i(S)^{\complement }=c(S^{\complement })$ , то есть дополнение внутренности равно замыканию дополнения, максимальность в обоих формулировках эквивалентна.

ЛитератураПравить

• B. J. Gardner et Marcel Jackson, « The Kuratowski Closure-Complement Theorem »
• Mark Bowron « The Kuratowski Closure-Complement Problem »
• « Theorem of the day »