Зависящий от параметра интеграл

Интеграл, зависящий от параметра — математическое выражение, содержащее определённый интеграл и зависящее от одной или нескольких переменных («параметров»).

Зависящий от параметра собственный интегралПравить

Пусть в двумерном евклидовом пространстве задана область $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}=\left\{\left(x,y\right)|a\le <!--\; \le \; -->x\le <!--\; \le \; -->b,c\le <!--\; \le \; -->y\le <!--\; \le \; -->d\right\}$$\overline{G}=\left\{\left (x,y\right )|a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \right\}$ , на которой определена функция $f(x,y)$$f(x,y)$  двух переменных.

Пусть далее, $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}y\in <!--\; \in \; -->\left[c;d\right]\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}I\left(y\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f\left(x,y\right)dx$$\forall y\in \left[c;d\right]\, \exists I\left(y\right)=\int\limits_a^b f\left(x,y\right )\, dx$ .

Функция $I(y)$$I(y)$  и называется интегралом, зависящим от параметра.

Свойства интеграла, зависящего от параметраПравить

НепрерывностьПравить

Пусть функция $f(x,y)$$f(x,y)$  непрерывна в области $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}$$\overline{G}$  как функция двух переменных. Тогда функция $I\left(y\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f\left(x,y\right)dx$$I\left(y\right)=\int\limits_a^b f\left(x,y\right )\, dx$  непрерывна на отрезке $[c;d]$$[c;d]$ .

Доказательство

Рассмотрим приращение интеграла, зависящего от параметра. $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}I\left(y\right)=I\left(y+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y\right)-<!--\; -\; -->I\left(y\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f\left(x,y+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y\right)dx-<!--\; -\; -->\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f\left(x,y\right)dx=$$\Delta I\left(y\right) = I\left(y+\Delta y\right)-I\left(y\right )=\int\limits_a^b f\left(x,y+\Delta y\right)\,dx-\int\limits_a^b f\left(x,y\right)\,dx=$ 

$=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\left(f\left(x,y+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y\right)-<!--\; -\; -->f\left(x,y\right)\right)dx$$=\int\limits_a^b \left(f\left(x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y\right)\right)\,dx$ .

По теореме Кантора, непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нём, то есть $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}>0\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}\right)>0\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{M}_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2)\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}:$$\forall \epsilon >0 \, \exists \delta = \delta\left(\epsilon\right )>0\, \forall M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2)\in \overline{G}:$ 

$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}<\delta \, \left|f(M_1)-f(M_2)\right|<\epsilon$ .

Следовательно, $\Delta I(y) < \epsilon (b-a)$  при $\Delta y < \delta$ , что и означает непрерывность функции

Дифференцирование под знаком интегралаПравить

Пусть теперь на области $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}$$\overline{G}$  непрерывна не только функция $f(x,y)$$f(x,y)$ , но и её частная производная $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\left(x,y\right)$$\frac {\partial f} {\partial y} \left (x,y\right )$ .

Тогда $\frac{d}{dy}I(y)=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\left(x,y\right)dx$$\frac {d} {dy} I(y) = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx$ , или, что то же самое, $\frac{d}{dy}\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x,y)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\left(x,y\right)dx$$\frac {d} {dy} \int\limits_a^b f(x,y)\,dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx$ 

Доказательство

$\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}I(y)}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y}=\frac{1}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y}\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}(f(x,y+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y)-<!--\; -\; -->f(x,y))dx=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}(x,\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})dx=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}(x,y+\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y)dx$$\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} = \frac {1} {\Delta y} \int\limits_a^b (f(x,y+\Delta y) - f(x,y)) dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} (x,\eta ) dx = \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} (x,y+\Theta \Delta y)dx$  $(\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\in <!--\; \in \; -->[y;y+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y],\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}\in <!--\; \in \; -->[0;1])$$( \eta \in [y;y+\Delta y], \Theta \in [0;1])$  Данные преобразования были выполнены с использованием теоремы о среднем Лагранжа. Рассмотрим теперь выражение $\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}I(y)}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y}-<!--\; -\; -->\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\left(x,y\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\left(x,y+\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y\right)-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\left(x,y\right)\right)dx$$\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx = \int\limits_a^b \left(\frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y+\Theta \Delta y \right) - \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \right) \, dx$ .

Используя вновь теорему Кантора, но для функции $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}$$\frac {\partial f} {\partial y}$  мы получаем, что $\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}I(y)}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y}-<!--\; -\; -->\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\left(x,y\right)dx=o(1)$$\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\partial f} {\partial y} \left(x,y\right) \, dx = o(1)$  при $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}(y)\to <!--\; \to \; -->0$$\Delta(y) \to 0$ , что и доказывает данную теорему

Интегрирование под знаком интегралаПравить

Если функция $f(x,y)$$f(x,y)$  непрерывна в области $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{G}$$\overline{G}$ , то

$\underset{c}{\overset{d}{\int <!--\; \int \; -->}}I(y)dy=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\left(\underset{c}{\overset{d}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x,y)dy\right)dx$$\int\limits_c^d I(y)\,dy = \int\limits_a^b \left (\int\limits_c^d f(x,y)\, dy \right )\, dx$ , или, что то же самое:

$\underset{c}{\overset{d}{\int <!--\; \int \; -->}}\left(\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x,y)dx\right)dy=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\left(\underset{c}{\overset{d}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x,y)dy\right)dx$$\int\limits_c^d \left (\int\limits_a^b f(x,y) \, dx \right )\, dy = \int\limits_a^b \left(\int\limits_c^d f(x,y)\, dy\right )\,dx$ 

Доказательство

Рассмотрим две функции:

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}\left(\underset{c}{\overset{d}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x,y)dy\right)dx$$F(x)=\int\limits_a^x \left(\int\limits_c^d f(x,y)\, dy\right )\,dx$ 

$G(x)=\underset{c}{\overset{d}{\int <!--\; \int \; -->}}\left(\underset{a}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x,y)dx\right)dy$$G(x)=\int\limits_c^d \left (\int\limits_a^x f(x,y) \, dx \right )\, dy$ 

$\frac{dF}{dx}=\underset{c}{\overset{d}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x,y)dy$$\frac {dF} {dx} = \int\limits_c^d f(x,y)\, dy$ 

$\frac{dG}{dx}=\underset{c}{\overset{d}{\int <!--\; \int \; -->}}\left(\frac{d}{dx}\underset{a}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x,y)dx\right)dy=\underset{c}{\overset{d}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x,y)dy$$\frac {dG} {dx} = \int\limits_c^d \left(\frac{d}{dx}\int\limits_a^x f(x,y) \, dx \right) \, dy = \int\limits_c^d f(x,y)\,dy$ 

$\frac{dF}{dx}\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{dG}{dx}$$\frac {dF} {dx} \equiv \frac {dG} {dx}$  на $[a;b]$$[a;b]$ , следовательно $F(x)\equiv <!--\; \equiv \; -->G(x)+C$$F(x) \equiv G(x)+C$ .

Так как $F(a)=0,G(a)=\underset{c}{\overset{d}{\int <!--\; \int \; -->}}0dy=0$$F(a)=0, \; G(a)=\int\limits_c^d 0 \; dy=0$ , то $C=0$$C=0$  и $F(x)\equiv <!--\; \equiv \; -->G(x)$$F(x) \equiv G(x)$  На $[a;b]$$[a;b]$ . Подставляя $x=b$$x=b$  получаем условие теоремы.