Теорема о равномерной непрерывности

Теорема о равномерной непрерывности или Теоре́ма Ка́нтора — Ге́йне говорит, что непрерывная функция, определённая на компакте, равномерно непрерывна на нём.

ФормулировкаПравить

Пусть даны два метрических пространства $(X,{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_X)$$(X,\rho _{X})$  и $(Y,{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_Y).$$(Y,\rho _{Y}).$  Пусть также дано компактное подмножество $A\subset <!--\; \subset \; -->X$$A\subset X$  и определённая на нём непрерывная функция $f:<!--\; :\; -->A\to <!--\; \to \; -->Y.$$f\colon A\to Y.$  Тогда $f$$f$  равномерно непрерывна на $A.$$A.$ 

ЗамечанияПравить

• В частности, непрерывная вещественнозначная функция, определённая на отрезке, $f:<!--\; :\; -->[a,b]\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon [a,b]\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$  равномерно непрерывна на нём.

• В условиях теоремы компакт нельзя заменить на произвольное открытое множество. Например, функция

  $f(x)=\frac{1}{x},x\in <!--\; \in \; -->(0,1)$$f(x)={\frac {1}{x}},\;x\in (0,1)$ 

непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной.

Доказательство

Воспользуемся доказательством от противного.

Пусть $f(x)$$f(x)$  — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте $A$$A$ ), но не равномерно непрерывная на нём. Тогда существует такое $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ , что для всех $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0$$\delta >0$  существуют такие $x$$x$  и $y$$y$ , расстояние между которыми меньше $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$ , но расстояние между их образами не менее $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ :

$\exists \varepsilon >0\colon \quad \forall \delta >0\ \exists x_{{\delta }},y_{{\delta }}\in A\colon \quad d(x,y)<\delta ,$  но $d(f(x),f(y))⩾<!--\; ⩾\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}.$$d(f(x),f(y))\geqslant \varepsilon .$ 

Возьмём последовательность $\{{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_k\}$$\{\delta _{k}\}$ , сходящуюся к 0, например, $\left\{\frac{1}{k}\right\}$$\left\{{\frac {1}{k}}\right\}$ . Построим последовательности $x_k$$x_k$  и $y_k$$y_{k}$  так, чтобы

$d(x_{k},y_{k})<{\frac {1}{k}}$ , но $d(f(x_k),f(y_k))⩾<!--\; ⩾\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon$ 

$A$$A$  — компакт, поэтому можно выделить сходящуюся подпоследовательность:

$x_{k_j}\to <!--\; \to \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}\in <!--\; \in \; -->A.$$x_{k_{j}}\to {\bar {x}}\in A.$ 

Но так как расстояние между членами обеих последовательностей стремится к нулю, то, воспользовавшись неравенством треугольника, получаем, что соответствующие подпоследовательности стремятся к одной точке: $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}=\underset{j\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{y}_{k_j}=\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}$${\bar {x}}=\lim \limits _{j\to \infty }y_{k_{j}}=\zeta$ . И, так как $f$$f$  непрерывна $f(x_{k_j})\to <!--\; \to \; -->f(\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}),f(y_{k_j})\to <!--\; \to \; -->f(\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->})\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->d(f(x_{k_j}),f(y_{k_j}))\to <!--\; \to \; -->0$$f(x_{{k_{j}}})\to f(\zeta ),\quad f(y_{{k_{j}}})\to f(\zeta )\Rightarrow d(f(x_{{k_{j}}}),f(y_{{k_{j}}}))\to 0$ , что противоречит предположению, что $d(f(x_k),f(y_k))⩾<!--\; ⩾\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon$ .

Стало быть, функция, непрерывная на компакте, действительно равномерно непрерывна на нём.

ИсторияПравить

Определение равномерной непрерывности появляется в работе Гейне. Через два года он публикует доказательство теоремы для функций определённых на замкнутом ограниченном интервале. В этих работах, он не претендует на оригинальность и его доказательство практически повторяет доказательство Дирихле опубликованное им в его лекциях 1854 года.

Основной вклад, по-видимому, принадлежит Больцано.