Евклидово пространство

Эта статья — о пространстве ℝⁿ со скалярным произведением. О любом пространстве со скалярным произведением см. Предгильбертово пространство.

Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово пространство) в изначальном смысле — это пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3, то есть является трёхмерным.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением; либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. Некоторые авторы ставят знак равенства между евклидовым и предгильбертовым пространством. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

$n$$n$-мерное евклидово пространство обычно обозначается ${\mathbb{E}}^n$$\mathbb {E} ^{n}$; также часто используется обозначение ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$, когда из контекста ясно, что пространство снабжено естественной евклидовой структурой.

Формальное определениеПравить

Чтобы дать определение евклидова пространства, в качестве основы проще всего использовать понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на парах векторов которого задана вещественнозначная функция $(\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->),$$(\cdot ,\cdot ),$  обладающая следующими тремя свойствами:

• Линейность: для любых векторов $\mathbf{u}\mathbf{,}\mathbf{v}\mathbf{,}\mathbf{w}$$\mathbf {u,v,w}$  и для любых вещественных чисел $a,b$$a,b$  справедливы соотношения $(a\mathbf{u}+b\mathbf{v},\mathbf{w})=a\mathbf{(}\mathbf{u}\mathbf{,}\mathbf{w}\mathbf{)}+b\mathbf{(}\mathbf{v}\mathbf{,}\mathbf{w}\mathbf{)}$$(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=a\mathbf {(u,w)} +b\mathbf {(v,w)}$ ;
• Симметричность: для любых векторов $u,v$$u,v$  верно равенство $\mathbf{(}\mathbf{u}\mathbf{,}\mathbf{v}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{v}\mathbf{,}\mathbf{u}\mathbf{)};$$\mathbf {(u,v)=(v,u)} ;$ 
• Положительная определённость: $\mathbf{(}\mathbf{u}\mathbf{,}\mathbf{u}\mathbf{)}⩾<!--\; ⩾\; -->0$$\mathbf {(u,u)} \geqslant 0$  для любого $u,$$u,$  причём $\mathbf{(}\mathbf{u}\mathbf{,}\mathbf{u}\mathbf{)}=0\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\mathbf{u}=0.$$\mathbf {(u,u)} =0\Rightarrow \mathbf {u} =0.$ 

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством или просто евклидовым пространством.

Пример евклидова пространства — координатное пространство ${\mathbb{R}}^n,$$\mathbb {R} ^{n},$  состоящее из всевозможных наборов вещественных чисел $(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n),$$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),$  где скалярное произведение определяется формулой $\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{,}\mathbf{y}\mathbf{)}=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i{y}_i=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_n{y}_n.$$\mathbf {(x,y)} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.$ 

Длины и углыПравить

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора $u$$u$  определяется как $\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{u}\mathbf{,}\mathbf{u}\mathbf{)}}$${\sqrt {\mathbf {(u,u)} }}$  и обозначается $|\mathbf{u}|.$$|\mathbf {u} |.$  Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что $|a\mathbf{u}|=|a||\mathbf{u}|,$$|a\mathbf {u} |=|a||\mathbf {u} |,$  то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами $\mathbf{x}$${\mathbf x}$  и $\mathbf{y}$${\mathbf y}$  определяется как $\arccos <!--\; \; -->\frac{\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{,}\mathbf{y}\mathbf{)}}{\mathbf{|}\mathbf{x}\mathbf{|}\mathbf{|}\mathbf{y}\mathbf{|}}.$$\arccos \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} .$  Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ненулевые ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы под углом $\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2},$${\tfrac {\pi }{2}},$  то есть как векторы с нулевым скалярным произведением.

ЗамечаниеПравить

Необходимо уточнить, что, чтобы арккосинус от $\frac{\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{,}\mathbf{y}\mathbf{)}}{\mathbf{|}\mathbf{x}\mathbf{|}\mathbf{|}\mathbf{y}\mathbf{|}}$$\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}}$  был определён, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство $\left|\frac{\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{,}\mathbf{y}\mathbf{)}}{\mathbf{|}\mathbf{x}\mathbf{|}\mathbf{|}\mathbf{y}\mathbf{|}}\right|⩽<!--\; ⩽\; -->1.$$\left|\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} \right|\leqslant 1.$  Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве: оно называется неравенством Коши — Буняковского. Из него, в свою очередь, следует неравенство треугольника: $\mathbf{|}\mathbf{u}\mathbf{+}\mathbf{v}\mathbf{|}⩽<!--\; ⩽\; -->\mathbf{|}\mathbf{u}\mathbf{|}\mathbf{+}\mathbf{|}\mathbf{v}\mathbf{|}.$$\mathbf {|u+v|\leqslant |u|+|v|} .$  Неравенство треугольника, вместе с вышеперечисленными свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция $d\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{,}\mathbf{y}\mathbf{)},$$d\mathbf {(x,y)} ,$  или $\mathbf{|}\mathbf{x}\mathbf{-<!--\; -\; -->}\mathbf{y}\mathbf{|},$$\mathbf {|x-y|} ,$  задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) $\mathbf{x}$${\mathbf x}$  и $\mathbf{y}$${\mathbf y}$  координатного пространства ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$  задаётся формулой $d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\Vert <!--\; \Vert \; -->\mathbf{x}-<!--\; -\; -->\mathbf{y}\Vert <!--\; \Vert \; -->=\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(x_i-<!--\; -\; -->y_i{)}^2}.$$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.$ 

Алгебраические свойстваПравить

Ортонормированные базисыПравить

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами $(a_1,a_2,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n)$$(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$  и $(b_1,b_2,\dots <!--\; \dots \; -->,b_n)$$(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$  в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле $(a,b)=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{b}_n.$$(a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}.$  В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением, можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (в частности, $n$$n$ -мерное евклидово пространство изоморфно ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$  со стандартным скалярным произведением).

Ортогональные проекцииПравить

Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора $x$$x$  на подпространство $U$$U$  — это вектор $h,$$h,$  ортогональный $U,$$U,$  такой что $x$$x$  представим в виде $u+h,$$u+h,$  где $u\in <!--\; \in \; -->U.$$u\in U.$  Расстояние между концами векторов $u$$u$  и $x$$x$  является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора $x$$x$  до подпространства $U.$$U.$  Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует: для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.

Сопряжённые пространства и операторыПравить

Любой вектор $x$$x$  евклидова пространства задаёт линейный функционал $x^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$x^{*}$  на этом пространстве, определяемый как $x^{\ast <!--\; \ast \; -->}(y)=(x,y).$$x^{*}(y)=(x,y).$  Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной.

Движения евклидова пространстваПравить

Движения евклидова пространства — это преобразования пространства на само себя, сохраняющие метрику (также называются изометриями пространства на само себя). Пример движения — параллельный перенос на вектор $\mathbf{v}$${\mathbf v}$ , переводящий точку $\mathbf{p}$${\mathbf p}$  в точку $\mathbf{p}\mathbf{+}\mathbf{v}$$\mathbf {p+v}$ . Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n × n, удовлетворяющих условию $Q^{\mathsf{T}}Q=E$$Q^{\mathsf {T}}Q=E$ , где $Q^{\mathsf{T}}$$Q^{\mathsf {T}}$  — транспонированная матрица, а $E$$E$  — единичная матрица.

ПримерыПравить

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

• ${\mathbb{E}}^{\mathbb{1}}$$\mathbb {E^{1}}$  размерности $1$$1$  (вещественная прямая — к примеру, числовая ось);
• ${\mathbb{E}}^{\mathbb{2}}$$\mathbb {E^{2}}$  размерности $2$$2$  (евклидова плоскость);
• ${\mathbb{E}}^{\mathbb{3}}$$\mathbb {E^{3}}$  размерности $3$$3$  (евклидово трёхмерное пространство).

Более абстрактный пример:

• пространство ${\mathcal{P}}^n$${\mathcal {P}}^{n}$  вещественных многочленов, степени которых не превосходят n, со скалярным произведением, определённым как интеграл их произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например $e^{-<!--\; -\; -->x^2}$$e^{-x^{2}}$ ).

Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве:

• правильные многомерные многогранники (например, N-мерный куб, N-мерный октаэдр, N-мерный тетраэдр);
• гиперсфера;
• гипертор.

Связанные определенияПравить

Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.

Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщенияПравить

Если в качестве основного поля использовать не поле вещественных чисел, а поле комплексных, то это даст определение унитарного (или эрмитова) пространства.

Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства. Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства. Требование того, чтобы предгильбертово пространство было полным по метрике, ведёт к определению гильбертова пространства; пространство квадратично-суммируемых последовательностей — гильбертово пространство, которое может рассматриваться как пространство векторов с бесконечным числом координат.

ЛитератураПравить

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. — М.: Физматлит, 1958. — 352 с. — 7500 экз.