Дэвис, Мартин (математик)

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Дэвис; Дэвис, Мартин.

Мартин Дэвид Дэвис (англ. Martin Davis, 8 марта 1928 — 1 января 2023) — американский математик, известный своей работой, которая посвящена десятой проблеме Гильберта.

Мартин Дэвис
англ. Martin Davis
Дата рождения	8 марта 1928(1928-03-08)
Место рождения	Нью-Йорк, США
Дата смерти	1 января 2023(2023-01-01) (94 года)
Место смерти	Беркли, Калифорния, США
Страна	США
Научная сфера	теория чисел и математика
Место работы	Нью-Йоркский университет
Альма-матер	Принстонский университет (1950)
Научный руководитель	Алонзо Чёрч
Награды и премии	Herbrand Award[d] (2005) член Американской академии искусств и наук премия Стила (1975) Премия Халмоша — Форда[d] стипендия Гуггенхайма (1983) действительный член Американского математического общества (2013)
Сайт	cs.nyu.edu/cs/fac…​ (англ.)
Медиафайлы на Викискладе

БиографияПравить

Родители Дэвиса иммигрировали в США из города Лодзь (Польша). Встретившись уже в Нью-Йорке, они поженились. Дэвис родился и вырос в городе Бронкс. Родители с детства поощряли Мартина получить высшее образование.

В 1950 году под руководством Алонзо Черча Мартин получил степень доктора в Принстонском университете, который является одним из старейших и самых престижных университетов США.

ВзносПравить

Дэвис — один из изобретателей алгоритма Дэвиса-Путнама^[en] и алгоритма DPLL. Также он известен благодаря своей модели машины Поста.

Десятая проблема ГильбертаПравить

В 30-х годах XX века формализуется понятие алгоритм, а также появляются первые примеры алгоритмически неразрешимых теорий в математической логике. Важным моментом стало доказательство Андреем Марковым и Эмилем Постом (независимо друг от друга) неразрешимости задачи Туе^[en] в 1947 году. Это было первое доказательство неразрешимости алгебраической задачи. Трудности, с которыми столкнулись исследователи диофантовых уравнений, вызвали предположение, что необходимого Гильбертом алгоритма не существует. Немного ранее, в 1944 году, Эмиль Пост в одной из своих работ уже писал, что десятая проблема «молит о доказательстве неразрешимости» (англ. «Begs for an unsolvability proof»).

Гипотеза ДэвисаПравить

Слова Поста вдохновили студента Мартина Дэвиса на поиск доказательств неразрешимости десятой проблемы. Дэвис перешёл от её формулировки в целых числах к более естественной для теории алгоритмов формулировки в натуральных числах. Это две разные задачи, однако каждая из них сводится к другой. В 1953 году он опубликовал работу, в которой наметил путь решения десятой проблемы в натуральных числах.

Дэвис наравне с классическими диофантовыми уравнениями рассмотрел их параметрическую версию:

$P(a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n,x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_m)=0,$$P(a_{1},\ldots ,a_{n},x_{1},\ldots ,x_{m})=0,$ 

где многочлен $P$$P$  с целыми коэффициентами можно разделить на две части — параметры $a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n$$a_{1},\ldots ,a_{n}$  и переменные $x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_m.$$x_{1},\ldots ,x_{m}.$  При одном наборе значений параметров уравнения может иметь решение, при другом решений может его не иметь. Дэвис выделил множество $M$$M$ , которое содержит все наборы значений параметров ($n$$n$ ), при которых уравнение имеет решение:

$\{a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n\}\in <!--\; \in \; -->M⟺<!--\; ⟺\; -->\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}{x}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_m:<!--\; :\; -->P(a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n,x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_m)=0.$$\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\in M\Longleftrightarrow \exists x_{1},\ldots ,x_{m}\colon P(a_{1},\ldots ,a_{n},x_{1},\ldots ,x_{m})=0.$ 

Такую запись он назвал диофантовым представлением множества, а само множество также назвал диофантовым. Для доказательства неразрешимости десятой проблемы нужно было лишь показать диофантовость любого перечислимое множества, то есть показать возможность построения уравнения, которое имело бы натуральные корни $x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_m$$x_{1},\ldots ,x_{m}$  при $\{a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n\}$$\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ , принадлежащих к этому множеству: поскольку среди перечислимых множеств содержатся неразрешимые, то, взяв неразрешимое множество $M$$M$  за основу, невозможно было бы получить общий метод, который бы $n$$n$  определял, имеются ли в этом наборе уравнения натуральные корни. Всё это привело Дэвиса к такой гипотезе:

Понятие диофантового и перечислимого множества совпадают. Это значит, что множество диофантово тогда и только тогда, когда оно перечислимое.

Дэвис также сделал первый шаг — доказал, что любое перечислимое множество $M$$M$  можно представить в виде:

$\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\in M\Longleftrightarrow \exists z\forall y<z\exists x_{1},\ldots ,x_{m}\colon P(a_{1},\ldots ,a_{n},x_{1},\ldots ,x_{m},y,z)=0.$ 

Это получило название «нормальная форма Дэвиса». Доказать свою гипотезу, избавившись от квантора всеобщности, ему на тот момент не удалось.

Награды и почётные званияПравить

В 1975 году, Дэвис был награждён премией Стила, премией «Chauvenet Prize» и премией Лестера Форда за работу, которая посвящена десятой проблеме Гильберта.

В 1982 году Мартин стал членом и Американской академии искусств и наук.

В 2012 был избран стипендиатом Американского математического общества.

Отдельные изданияПравить

Книги

• Мартин, Дэвис. Прикладной нестандартный анализ (неопр.). — Нью-Йорк: Wiley, 1977. — ISBN 9780471198970.
• Мартин, Дэвис; Джессика, Элейн; Рон, Сигал. Вычислимости, сложность и речи: Основы теоретической информатики (рус.). — 2-й том. — Бостон: Academic Press, Harcourt, Brace, 1994. — ISBN 9780122063824.
• Мартин, Дэвис. Двигатели логики: математика и происхождение компьютера (рус.). — Нью-Йорк: Norton, 2000. — ISBN 9780393322293.

Обзор «двигателей логики»: Уоллес, Ричард, Математики которые забывают ошибки истории: обзор двигателей логики("Мартин Дэвис"), ALICE A. I. Foundation, <http://www.alicebot.org/articles/wallace/mathematicia..>  (недоступная ссылка)

Статьи

• Мартин Дэвис (1995), «Является ли математическое понимание алгоритмическим», «Behavioral and Brain Sciences», 13(4), 659-60.

См. такжеПравить

• Проблема остановки
• Нестандартный анализ

СсылкиПравить

• Сайт Мартина Дэвиса Архивная копия от 28 сентября 2014 на Wayback Machine
• Дэвис, Мартин (математик) на математическом портале Math-Net.Ru