Дифференциальный бином

В математическом анализе дифференциальным биномом или биномиальным дифференциалом называется дифференциал вида

$x^m(a+b{x}^n{)}^{p}dx,$$x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx,$

где a, b — действительные числа, a m, n, p — рациональные числа. Представляет интерес интеграл от дифференциального бинома:

$I=\int <!--\; \int \; -->x^m(a+b{x}^n{)}^{p}dx.$$I=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx.$

СвойстваПравить

Выразимость интеграла в элементарных функцияхПравить

 

Линии, проходящие через точку (-1,0), которым принадлежат точки (m,n), где m,n — рациональные числа, удовлетворяющие второму условию интегрируемости дифференциального бинома

 

Гиперболические параболоиды, которым принадлежат точки (m,n,p), где m,n,p — рациональные числа, удовлетворяющие третьему условию интегрируемости дифференциального бинома

Интеграл от дифференциального бинома выражается в элементарных функциях только в трёх случаях:

• $p$$p$  — целое число. Используется подстановка $x=t^k$$x=t^{k}$ , $k$$k$  — общий знаменатель дробей $m$$m$  и $n$$n$ ;
• $\frac{m+1}{n}$${\frac {m+1}{n}}$  — целое число. Используется подстановка $a+b{x}^n=t^s$$a+bx^{n}=t^{s}$ , $s$$s$  — знаменатель дроби $p$$p$ .
• $p+\frac{m+1}{n}$$p+{\frac {m+1}{n}}$  — целое число. Используется подстановка $a{x}^{-<!--\; -\; -->n}+b=t^s$$ax^{{-n}}+b=t^{s}$ , $s$$s$  — знаменатель дроби $p$$p$ .

Связь с бета-функцией и гипергеометрической функциейПравить

Интеграл от дифференциального бинома выражается через неполную бета-функцию:

$I=\frac{1}{n}{a}^p{\left(-<!--\; -\; -->\frac{a}{b}\right)}^{(m+1)/n}\cdot <!--\; \cdot \; -->B_y\left(\frac{m+1}{n},p+1\right),$$I={\frac {1}{n}}a^{p}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{(m+1)/n}\cdot B_{y}\left({\frac {m+1}{n}},p+1\right),$ 

где $y=-<!--\; -\; -->\frac{b}{a}{x}^n$$y=-{\tfrac {b}{a}}x^{n}$ , а также через гипергеометрическую функцию:

$I=\frac{1}{m+1}{a}^p{\left(-<!--\; -\; -->\frac{a}{b}\right)}^{(m+1)/n}{y}^{(m+1)/n}\cdot <!--\; \cdot \; -->{}_2{F}_1\left(\frac{m+1}{n},-<!--\; -\; -->p;\frac{m+1}{n}+1;y\right).$$I={\frac {1}{m+1}}a^{p}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{(m+1)/n}y^{(m+1)/n}\cdot {}_{2}F_{1}\left({\frac {m+1}{n}},-p;{\frac {m+1}{n}}+1;y\right).$ 

ПримерыПравить

Интеграл

$\int <!--\; \int \; -->\sqrt[3]{1+x^2}dx$$\int {\sqrt[{3}]{1+x^{2}}}dx$ 

не выражается в элементарных функциях, здесь $m=0,n=2,p=\frac{1}{3}$$m=0,n=2,p={1 \over 3}$ , и ни одно из трёх условий для m, n и p не выполнено.

В то же время интеграл

$\int <!--\; \int \; -->\sqrt{1+x^2}dx=\frac{x\sqrt{x^2+1}}{2}+\frac{1}{2}\ln <!--\; \; -->(x+\sqrt{x^2+1})+C$$\int {\sqrt {1+x^{2}}}dx={x{\sqrt {x^{2}+1}} \over 2}+{1 \over 2}\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})+C$ ,

как видим, выражается в элементарных функциях, поскольку здесь $m=0,n=2,p=\frac{1}{2}$$m=0,n=2,p={1 \over 2}$ , и $\frac{m+1}{n}+p=1$${m+1 \over n}+p=1$ , то есть является целым числом.

ИсторияПравить

 

Интеграл от дифференциального бинома (слева вверху) на почтовой марке России 2021 года, посвящённой П. Л. Чебышеву

Случаи выразимости дифференциального бинома в элементарных функциях были известны ещё Л. Эйлеру. Однако, невыразимость дифференциального бинома в элементарных функциях во всех остальных случаях была доказана П. Л. Чебышёвым в 1853 году.

См. такжеПравить

• Список интегралов элементарных функций

СсылкиПравить

• Дифференциальный бином — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Integration Of Differential Binomial (англ.) на сайте PlanetMath.
• Tables of indefinite integrals.