Дискретное комплексное преобразование

Дискретное комплексное преобразование (ДКП) — дискретное ортогональное преобразование, обобщающее все остальные преобразования. Имеет вид:

$X_k=\underset{i=0}{\overset{N-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i(a_1{W}_N^{ik}+a_2{W}_N^{-<!--\; -\; -->ik})k=0,\dots <!--\; \dots \; -->,N-<!--\; -\; -->1$$X_{k}=\sum _{{i=0}}^{{N-1}}x_{i}(a_{1}W_{N}^{{ik}}+a_{2}W_{N}^{{-ik}})\quad \quad k=0,\dots ,N-1$

$a_1,a_2\in <!--\; \in \; -->C$$a_{1},a_{2}\in C$

$W_N=e^{-<!--\; -\; -->j\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{N}}$$W_{N}=e^{{-j{\frac {2\pi }{N}}}}$

j — мнимая единица.

Обратное к нему преобразование имеет вид:

$x_i=\frac{1}{N(a_1^2-<!--\; -\; -->a_2^2)}\underset{k=0}{\overset{N-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{X}_k(a_1{W}_N^{-<!--\; -\; -->ik}-<!--\; -\; -->a_2{W}_N^{ik})i=0,\dots <!--\; \dots \; -->,N-<!--\; -\; -->1$$x_{i}={\frac {1}{N(a_{1}^{2}-a_{2}^{2})}}\sum _{{k=0}}^{{N-1}}X_{k}(a_{1}W_{N}^{{-ik}}-a_{2}W_{N}^{{ik}})\quad \quad i=0,\dots ,N-1$

Переходит в ДПФ при:

$a_1=1,a_2=0$$a_{1}=1,a_{2}=0$

переходит в ДПХ при:

$a_1=a_2^{\ast <!--\; \ast \; -->}=a_a+j{a}_b;a_a=a_b=0,5$$a_{1}=a_{2}^{*}=a_{a}+ja_{b};a_{a}=a_{b}=0,5$

См. такжеПравить

• Дискретное ортогональное преобразование