Десятичная дробь

Десяти́чная дробь — разновидность дроби, которая представляет собой способ представления действительных чисел в виде

Примеры конечных десятичных дробей

$\pm <!--\; \pm \; -->d_m\dots <!--\; \dots \; -->d_1{d}_0,d_{-<!--\; -\; -->1}{d}_{-<!--\; -\; -->2}\dots <!--\; \dots \; -->$$\pm d_m \ldots d_1 d_0{,} d_{-1} d_{-2} \ldots$

где

$\pm <!--\; \pm \; -->$$\pm$ — знак дроби: либо $+$$+$, либо $-<!--\; -\; -->$$-$,

$,$$,$ — десятичная запятая, служащая разделителем между целой и дробной частью числа (стандарт стран СНГ),

$d_k$$d_{k}$ — десятичные цифры. Причём последовательность цифр до запятой (слева от неё) конечна (как минимум одна цифра), а после запятой (справа от неё) — может быть как конечной (в частности, цифры после запятой могут вообще отсутствовать), так и бесконечной.

Примеры:

• $123,45$$123{,}45$ (конечная десятичная дробь)
• Представление числа $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ в виде бесконечной десятичной дроби: $\mathrm{3,141}\mathrm{5926535897...}$$3{,}1415926535897...$

Значением десятичной дроби $\pm <!--\; \pm \; -->d_m\dots <!--\; \dots \; -->d_1{d}_0,d_{-<!--\; -\; -->1}{d}_{-<!--\; -\; -->2}\dots <!--\; \dots \; -->$$\pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},d_{{-1}}d_{{-2}}\ldots$ является действительное число

$\pm <!--\; \pm \; -->\left(d_m\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^m+\dots <!--\; \dots \; -->+d_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^1+d_0\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^0+d_{-<!--\; -\; -->1}\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->1}+d_{-<!--\; -\; -->2}\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->2}+\dots <!--\; \dots \; -->\right),$$\pm \left(d_{m}\cdot 10^{m}+\ldots +d_{1}\cdot 10^{1}+d_{0}\cdot 10^{0}+d_{{-1}}\cdot 10^{{-1}}+d_{{-2}}\cdot 10^{{-2}}+\ldots \right),$

равное сумме конечного или бесконечного числа слагаемых.

Представление действительных чисел с помощью десятичных дробей является обобщением записи целых чисел в десятичной системе счисления. В представлении целого числа в виде десятичной дроби отсутствуют цифры после запятой, и таким образом, это представление имеет вид

$\pm <!--\; \pm \; -->d_m\dots <!--\; \dots \; -->d_1{d}_0,$$\pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},$

что совпадает с записью этого числа в десятичной системе счисления.

Конечные и бесконечные десятичные дробиПравить

Конечные дробиПравить

Десятичная дробь называется конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (в частности, ни одного), то есть имеет вид

$\pm <!--\; \pm \; -->a_0,a_1{a}_2\dots <!--\; \dots \; -->a_n$$\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots a_n$ 

В соответствии с определением эта дробь представляет число

$\pm <!--\; \pm \; -->\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->k}$$\pm \sum _{{k=0}}^{{n}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}$ 

Легко видеть, что это число можно представить в виде обыкновенной дроби вида $p/{10}^s$$p/10^{{s}}$ , знаменатель которой является степенью десятки. Обратно, любое число вида $p/{10}^s$$p/10^{{s}}$ , где $p$$p$  — целое, а $s$$s$  — целое неотрицательное, можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Если обыкновенную дробь $p/{10}^s$$p/10^{{s}}$  привести к несократимому виду, её знаменатель будет иметь вид $2^m{5}^n$$2^{{m}}5^{{n}}$ . Таким образом, имеет место следующая теорема о представимости действительных чисел в виде конечных десятичных дробей.

Теорема. Действительное число представимо в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда оно является рациональным и при записи его несократимой дробью $p/q$$p/q$  знаменатель $q$$q$  не имеет простых делителей, отличных от $2$$2$  и $5$$5$ .

Бесконечные дробиПравить

Бесконечная десятичная дробь

$\pm <!--\; \pm \; -->a_0,a_1{a}_2\dots <!--\; \dots \; -->$$\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots$ 

представляет, согласно определению, действительное число

$\pm <!--\; \pm \; -->\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->k}$$\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}$ 

Этот ряд сходится, каковы бы ни были целое неотрицательное $a_0$$a_{0}$  и десятичные цифры $a_1,a_2,\dots <!--\; \dots \; -->$$a_{1},a_{2},\ldots$ . Это предложение вытекает из того факта, что последовательность его частичных сумм (если отбросить знак дроби) ограничена сверху числом $a_0+1$$a_{0}+1$  (см. критерий сходимости знакоположительных рядов).

Представление действительных чисел десятичными дробямиПравить

Таким образом, всякая конечная или бесконечная десятичная дробь представляет некоторое вполне определённое действительное число. Остаются следующие вопросы:

1. Всякое ли действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби?
2. Единственно ли такое представление?
3. Каков алгоритм разложения числа в десятичную дробь?

Эти вопросы освещаются ниже.

Алгоритм разложения числа в десятичную дробьПравить

Ниже описывается алгоритм построения по произвольному действительному числу $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  десятичной дроби, которая является его представлением.

Рассмотрим вначале случай $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⩾<!--\; ⩾\; -->0$$\alpha \geqslant 0$ . Разделим всю числовую прямую целочисленными точками на отрезки единичной длины. Рассмотрим тот отрезок $I_0$$I_0$ , который содержит точку $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ ; в частном случае, когда точка $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  является концом двух соседних отрезков, в качестве $I_0$$I_0$  выберем правый отрезок.

 

Если обозначить целое неотрицательное число, являющееся левым концом отрезка $I_0$$I_0$ , через $a_0$$a_{0}$ , то можно записать:

$I_0=[a_0;a_0+1]$$I_{0}=[a_{0}\,;\,a_{0}+1]$ 

На следующем шаге разделим отрезок $I_0$$I_0$  на десять равных частей точками

$a_0+b/10,b=1,\dots <!--\; \dots \; -->,9$$a_{0}+b/10,\;b=1,\ldots ,9$ 

и рассмотрим тот из отрезков длины $1/10$$1/10$ , на котором лежит точка $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ ; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков опять выберем правый.

 

Обозначим этот отрезок $I_1$$I_1$ . Он имеет вид:

$I_1=\left[a_0+\frac{a_1}{10};a_0+\frac{a_1+1}{10}\right]$$I_{1}=\left[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}+1}{10}}\right]$ 

Будем продолжать аналогичным образом процесс измельчения числовой прямой и последовательного уточнения положения точки $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ .

На очередном шаге, имея отрезок $I_{n-<!--\; -\; -->1}$$I_{{n-1}}$ , содержащий точку $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , мы делим его на десять равных отрезков и выбираем из них тот отрезок $I_n$$I_{{n}}$ , на котором лежит точка $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ ; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков выбираем правый.

Продолжая этот процесс мы получим последовательность отрезков $I_0,I_1,\dots <!--\; \dots \; -->$$I_{0},I_{1},\ldots$  вида

$I_n=\left[a_0+\frac{a_1}{{10}^1}+\dots <!--\; \dots \; -->+\frac{a_n}{{10}^n};a_0+\frac{a_1}{{10}^1}+\dots <!--\; \dots \; -->+\frac{a_n}{{10}^n}+\frac{1}{{10}^n}\right]$$I_{n}=\left[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}+{\frac {1}{10^{n}}}\right]$ 

где $a_0$$a_{0}$  — целое неотрицательное, а $a_1,a_2,\dots <!--\; \dots \; -->$$a_{1},a_{2},\ldots$  — целые числа, удовлетворяющие неравенству $0⩽<!--\; ⩽\; -->a_k⩽<!--\; ⩽\; -->9$$0\leqslant a_{k}\leqslant 9$ .

Построенная последовательность отрезков $I_0,I_1,\dots <!--\; \dots \; -->$$I_{0},I_{1},\ldots$  обладает следующими свойствами:

• Отрезки последовательно вложены друг в друга: $I_0\supset <!--\; \supset \; -->I_1\supset <!--\; \supset \; -->I_2\supset <!--\; \supset \; -->\dots <!--\; \dots \; -->$$I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \ldots$ 
• Длина отрезков $|I_n|={10}^{-<!--\; -\; -->n},n=0,1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$|I_{n}|=10^{{-n}},\;n=0,1,2,\ldots$ 
• Точка $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  принадлежит всем отрезкам последовательности

Из этих условий следует, что $I_0,I_1,\dots <!--\; \dots \; -->$$I_{0},I_{1},\ldots$  есть система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$ , а точка $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  есть общая точка всех отрезков системы. Отсюда вытекает, что последовательность левых концов отрезков сходится к точке $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  (аналогичное утверждение справледливо и для последовательности правых концов), то есть

$a_0+\frac{a_1}{{10}^1}+\dots <!--\; \dots \; -->+\frac{a_n}{{10}^n}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\to \alpha$  при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$ 

Это значит, что ряд

$\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->k}$$\sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}$ 

сходится к числу $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , и таким образом, десятичная дробь

$a_0,a_1{a}_2\dots <!--\; \dots \; -->$$a_0{,}a_{1} a_{2} \ldots$ 

является представлением числа $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ . Таким образом, найдено разложение неотрицательного числа $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  в десятичную дробь.

Полученная десятичная дробь является бесконечной по построению. При этом может оказаться, что начиная с некоторого номера, все десятичные знаки после запятой суть нули, то есть дробь имеет вид

$a_0,a_1\dots <!--\; \dots \; -->a_{n}000\dots <!--\; \dots \; -->$$a_0{,}a_1 \ldots a_n 000 \ldots$ 

Нетрудно видеть, что эта возможность имеет место в том случае, когда на некотором шаге точка $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  совпадает с одной из точек деления числовой прямой. В этом случае отбрасывая в сумме

$\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->k}$$\sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}$ 

нулевые слагаемые, получим, что число $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  также может быть представлено конечной десятичной дробью

$a_0,a_1\dots <!--\; \dots \; -->a_n$$a_0{,} a_1 \ldots a_n$ 

Вообще, ясно, что приписывая в конец десятичной дроби после запятой любое количество нулей (в том числе бесконечное), мы не изменяем значение дроби. Таким образом, в данном случае число $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  может быть представлено как конечной, так и бесконечной десятичной дробью (полученной из первой приписыванием бесконечного числа нулей).

Тем самым рассмотрен случай неотрицательного $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ . В случае отрицательного $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , в качестве десятичного представления этого числа можно взять представление противоположного ему положительного числа, взятое со знаком «минус».

Приведенный алгоритм дает способ разложения произвольного действительного числа в десятичную дробь. Тем самым доказана следующая

Теорема. Всякое действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби.

О роли аксиомы АрхимедаПравить

Приведенный алгоритм разложения действительного числа в десятичную дробь существенно опирается на свойство системы действительных чисел, называемое аксиомой Архимеда.

Это свойство было использовано дважды в алгоритме. В самом начале построения выбиралось целое $a_0$$a_{0}$ , такое, что действительное число $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  находится между $a_0$$a_{0}$  и следующим целым $a_0+1$$a_{0}+1$ :

$a_{0}\leqslant \alpha <a_{0}+1,\;a_{0}\in {\mathbb {Z}}$ 

Однако существование такого целого числа $a_0$$a_{0}$  надо ещё доказать: нельзя исключать, например, возможность, когда, каково бы ни было целое $n$$n$ , всегда имеет место неравенство $n⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$n\leqslant \alpha$ . Если бы этот случай имел место, то, очевидно, нужного числа $a_0$$a_{0}$  не нашлось бы.

Эта возможность как раз исключается аксиомой Архимеда, согласно которой каково бы ни было число $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , всегда найдётся целое $n$$n$  такое, что $n>\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$n>\alpha$ . Теперь среди чисел $k=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$k=1,\ldots ,n$  возьмём наименьшее, обладающее свойством $k>\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$k>\alpha$ . Тогда

$k-1\leqslant \alpha <k$ 

Искомое число найдено: $a_0=k-<!--\; -\; -->1$$a_{0}=k-1$ .

Второй раз аксиома Архимеда неявно использовалась при доказательстве стремления к нулю длин отрезков последовательности $I_0,I_1,I_2,\dots <!--\; \dots \; -->$$I_{0},I_{1},I_{2},\ldots$ :

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{10}^{-<!--\; -\; -->n}=0$$\lim _{{n\to \infty }}10^{{-n}}=0$ 

Строгое доказательство данного предложения опирается на аксиому Архимеда. Докажем эквивалентное соотношение

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{10}^n=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\lim _{{n\to \infty }}10^{{n}}=\infty$ 

В соответствии с аксиомой Архимеда, каково бы ни было действительное число $E>0$$E>0$ , последовательность натуральных чисел $1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$1,2,\ldots$  превзойдёт его, начиная с некоторого номера. А поскольку для всякого $n$$n$  имеет место неравенство

${10}^n>n$$10^{n}>n$ 

то последовательность ${10}^n$$10^{n}$  также превзойдёт $E$$E$ , начиная с того же номера. В соответствии с определением предела числовой последовательности, это означает, что $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{10}^n=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\lim _{{n\to \infty }}10^{{n}}=\infty$ .

Неоднозначность представления в виде десятичной дробиПравить

См. также: 0,(9)

С помощью приведённого алгоритма мы можем для любого действительного числа $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  построить десятичную дробь, представляющую данное число. Однако может случиться, что это же самое число $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  может быть представлено в виде десятичной дроби и другим образом.

Неединственность представления чисел в виде десятичных дробей уже следует из того тривиального факта, что, приписывая конечной дроби справа после запятой нули, мы будем получать формально различные десятичные дроби, представляющие одно и то же число.

Однако, если даже считать дроби, полученные путём приписывания в конец друг другу конечного или бесконечного количества нулей, тождественными, представление некоторых действительных чисел всё же остаётся неединственным.

Рассмотрим например, десятичную дробь

$0,99\dots <!--\; \dots \; -->$$0{,}99\ldots$ 

Согласно определению, эта дробь является представлением числа $0+9/10+9/100+\dots <!--\; \dots \; -->=1$$0+9/10+9/100+\ldots =1$ . Вместе с тем, это число может быть также представлено в виде десятичной дроби $1,00\dots <!--\; \dots \; -->$$1{,}00\ldots$ . В самом деле, вещественные числа $a,b$$a,b$  различны тогда и только тогда, когда между ними можно вставить ещё одно вещественное число, не совпадающее с самими $a,b.$$a,b.$  Но между $0,99\dots <!--\; \dots \; -->$$0{,}99\ldots$  и $1,00\dots <!--\; \dots \; -->$$1{,}00\ldots$  никакого третьего числа вставить нельзя.

Этот пример можно обобщить. Можно показать, что дроби

$\pm <!--\; \pm \; -->a_0,a_1\dots <!--\; \dots \; -->a_{n-<!--\; -\; -->1}{a}_{n}999\dots <!--\; \dots \; -->$$\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} a_n 999 \ldots$ 

и

$\pm <!--\; \pm \; -->a_0,a_1\dots <!--\; \dots \; -->a_{n-<!--\; -\; -->1}(a_n+1)000$$\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} (a_n+1) 000$ 

где $a_n\ne <!--\; \ne \; -->9$$a_{n}\neq 9$ , представляют одно и то же действительное число.

Оказывается, этим общим примером исчерпываются все случаи неоднозначности представления действительных чисел в виде десятичных дробей. При этом мы, конечно, не рассматриваем тривиальные случаи дробей, полученные приписыванием нулей в конец друг другу, а также пару дробей $+0,00\dots <!--\; \dots \; -->$$+ 0{,}00 \ldots$  и $-<!--\; -\; -->0,00\dots <!--\; \dots \; -->$$- 0{,}00 \ldots$ .

Эти результаты можно суммировать в следующей теореме.

Теорема. Всякое действительное число $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , не представимое в виде $p/{10}^s$$p/10^{s}$ , где $p$$p$  — целое, $s$$s$  — целое неотрицательное, допускает единственное представление в виде десятичной дроби; при этом эта дробь является бесконечной.

Всякое действительное число вида $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=p/{10}^s$$\alpha =p/10^{s}$  может быть представлено в виде десятичной дроби более чем одним способом. Если $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->0$$\alpha \neq 0$ , то оно может быть представлено как в виде конечной десятичной дроби, а также бесконечной дроби, полученной приписыванием нулей в конец после запятой, так и в виде бесконечной дроби, оканчивающейся на $999\dots <!--\; \dots \; -->$$999\ldots$ . Число $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=0$$\alpha = 0$  может быть представлено дробями вида $+0,00\dots <!--\; \dots \; -->$$+0{,}00 \ldots$ , а также дробями вида $-<!--\; -\; -->0,00\dots <!--\; \dots \; -->$$-0{,}00 \ldots$ .

Замечание. Бесконечные дроби, оканчивающиеся на $999\dots <!--\; \dots \; -->$$999\ldots$ , получаются, если в приведённом выше алгоритме всегда выбирать левый отрезок вместо правого.

Лишние нули и погрешностьПравить

Основная статья: Округление

Следует отметить, что, с точки зрения приближённых вычислений, запись десятичной дроби с нулями в конце не совсем тождественна записи без этих нулей.

Принято считать, что, если погрешность не указана, то абсолютная погрешность десятичной дроби равна половине единицы последнего выписанного разряда, т.е. число получено в соответствии с правилами округления. Например, запись «3,7» означает, что абсолютная погрешность равна 0,05. А в записи «3,700» абсолютная погрешность равна 0,0005. Другие примеры:

• «25» — абсолютная погрешность равна 0,5 (также такая запись может означать точное значение 25: например, 25 штук);
• «2,50∙10⁴» — абсолютная погрешность равна 50;
• «25,00» — абсолютная погрешность равна 0,005.

Периодические десятичные дробиПравить

Определение и свойстваПравить

Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр. Другими словами, периодическая дробь — десятичная дробь, имеющая вид

$\pm <!--\; \pm \; -->a_0,a_1\dots <!--\; \dots \; -->a_m\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{b_1\dots <!--\; \dots \; -->b_l}\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{b_1\dots <!--\; \dots \; -->b_l}\dots <!--\; \dots \; -->$$\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\underbrace {b_{1}\ldots b_{l}}\underbrace {b_{1}\ldots b_{l}}\ldots$ 

Такую дробь принято кратко записывать в виде

$\pm <!--\; \pm \; -->a_0,a_1\dots <!--\; \dots \; -->a_m(b_1\dots <!--\; \dots \; -->b_l)$$\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}(b_{1}\ldots b_{l})$ 

Повторяющаяся группа цифр $b_1\dots <!--\; \dots \; -->b_l$$b_{1}\ldots b_{l}$  называется периодом дроби, количество цифр в этой группе — длиной периода.

Если в периодической дроби период следует сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической. Если же между запятой и первым периодом имеются цифры, дробь называется смешанной периодической, а группа цифр после запятой до первого знака периода — предпериодом дроби. Например, дробь $1,(23)=\mathrm{1,232}3\dots <!--\; \dots \; -->$$1{,}(23) = 1{,}2323 \ldots$  является чистой периодической, а дробь $0,1(23)=\mathrm{0,123}23\dots <!--\; \dots \; -->$$0{,}1(23)=0{,}12323 \ldots$  — смешанной периодической.

Основное свойство периодических дробей, благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и только они представляют рациональные числа. Точнее, имеет место следующее предложение.

Теорема. Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, если рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, то эта дробь является периодической.

Можно показать, что чисто периодические дроби соответствуют рациональным числам, в записи которых в виде несократимой дроби $p/q$$p/q$  знаменатель $q$$q$  не имеет простых делителей $2$$2$  и $5$$5$ , а также рациональным числам $p/q$$p/q$ , у которых знаменатель $q$$q$  имеет только простые делители $2$$2$  и $5$$5$ . Соответственно, смешанные периодические дроби соответствуют несократимым дробям $p/q$$p/q$ , знаменатель $q$$q$  которых имеет как простые делители $2$$2$  или $5$$5$ , так и отличные от них.

Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновеннуюПравить

Предположим, что дана периодическая десятичная дробь $x=0,(1998)$$x=0{,}(1998)$  с периодом 4. Заметим, что домножив её на ${10}^4=10000$$10^{4}=10000$ , получим большую дробь $10000x=1998,(1998)$$10000x=1998{,}(1998)$  с теми же цифрами после запятой. Отняв целую часть ($1998$$1998$ ), на которую увеличилась дробь после её умножения, получаем исходную дробь ($x$$x$ ):
$10000x-<!--\; -\; -->1998=x$$10000x-1998=x$ 
$\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->$$\Rightarrow$ 
$10000x-<!--\; -\; -->x=1998$$10000x-x=1998$ 
$\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->$$\Rightarrow$ 
$x=\frac{1998}{9999}=\frac{222}{1111}$$x={\frac {1998}{9999}}={\frac {222}{1111}}$ 

Произношение десятичных дробейПравить

В русском языке десятичные дроби читаются так: сначала произносится целая часть, потом слово «целых» (или «целая»), потом дробная часть так, как если бы всё число состояло только из этой части, то есть числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т.д.), а знаменатель — порядковое числительное (десятая, сотая, тысячная, десятитысячная и т.д.).

Например: 5,45 — пять целых, сорок пять сотых.

Для более длинных чисел иногда десятичную часть разбивают по степеням тысячи. Например: 0,123 456 — ноль целых, сто двадцать три тысячных, четыреста пятьдесят шесть миллионных.

Однако на практике часто как более рациональное, превалирует такое произношение: целая часть, союз «и» (часто опускается), дробная часть.

Например: 5,45 — пять и сорок пять; (пять — сорок пять).

Для периодических десятичных дробей произносят часть числа до периода (выраженную целым числом в случае чистой периодической дроби или конечной десятичной дробью в случае смешанной периодической дроби), а затем добавляют число в периоде. Например: 0,1(23) — ноль целых, одна десятая и двадцать три в периоде; 2,(6) — две целых и шесть в периоде.

ИсторияПравить

Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную.

Тимуридский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин аль-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше.

В Европе первоначально десятичные дроби записывали как целые числа в некотором оговоренном масштабе; например, тригонометрические таблицы Региомонтана (1467) содержали значения, увеличенные в 100000 раз и затем округлённые до целого. Первые десятичные дроби в Европе ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, в 1579 году их употребление пытался пропагандировать Виет. Но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585).

См. такжеПравить

• Десятичный разделитель
• Десятичная система счисления
• Обыкновенная дробь
• Непрерывная дробь

СсылкиПравить

• ЕГЭ математика. Периодическая дробь
• Задачи по теме «обыкновенные и десятичные дроби»
• Семёнова Л. Периодические дроби.