Критерий сходимости знакоположительных рядов

Критерий сходимости положительных рядов — основной признак сходимости положительных числовых рядов. Утверждает, что положительный ряд $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k$$\sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}$ сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм $S(n)=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k$$S(n)=\sum _{{k=1}}^{n}a_{k}$ ограничена сверху.

ДоказательствоПравить

С одной стороны, так как ряд сходится, то последовательность частичных сумм имеет предел. Следовательно, она ограничена. А значит она ограничена и снизу, и сверху.

Обратно, пусть дан положительный ряд и последовательность частичных сумм ограничена сверху. Заметим, что последовательность частичных сумм неубывающая:

$S_{n+1}-<!--\; -\; -->S_n=a_{n+1}⩾<!--\; ⩾\; -->0$$S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1}\geqslant 0$ 

Теперь используем свойство из теоремы о монотонной последовательности. Получим, что последовательность частичных сумм сходится (она монотонно не убывает и ограничена сверху), а потому ряд сходится по определению.

ЛитератураПравить

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.