Деление на ноль

Деление на ноль в математике — деление, при котором делитель равен нулю. Такое деление может быть формально записано как $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a \over 0$ $a \over 0$ , где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a$ $a$ — делимое.

Функция

\text{[math]}

y={1 \over x}

y={1 \over x}

. Когда

\text{[math]}

x

x

стремится к нулю справа,

\text{[math]}

y

y

стремится к бесконечности; когда

\text{[math]}

x

x

стремится к нулю слева,

\text{[math]}

y

y

стремится к минус бесконечности

В арифметикеПравить

В обычной арифметике (с вещественными числами) данное выражение не имеет смысла, так как:

при $\text{[math]}$ а ≠ 0 не существует числа, которое при умножении на $\text{[math]}$ 0 даёт $\text{[math]}$ а, поэтому ни одно число не может быть принято за частное $\text{[math]}$ ^а⁄₀;
при $\text{[math]}$ а = 0 деление на ноль также не определено, поскольку любое число при умножении на $\text{[math]}$ 0 даёт $\text{[math]}$ 0 и может быть принято за частное $\text{[math]}$ ⁰⁄₀.

Исторически одна из первых ссылок на математическую невозможность присвоения значения $\text{[math]}$ ^а⁄₀ содержится в критике Джорджа Беркли исчисления бесконечно малых.

В алгебреПравить

Деление на ноль недопустимо во многих алгебраических структурах (например, в полях, кольцах). Однако понятие кольца можно расширить так, чтобы деление на ноль было бы возможным. Получившаяся структура называется колесо.

Логические ошибкиПравить

Поскольку при умножении любого числа на ноль в результате мы всегда получаем ноль, при делении обеих частей выражения $\text{[math]}$ x × 0 = y × 0, верного вне зависимости от значения $\text{[math]}$ x и $\text{[math]}$ y, на $\text{[math]}$ 0 получаем неверное в случае произвольно заданных переменных выражение $\text{[math]}$ x = y. Поскольку ноль может быть задан не явно, но в виде достаточно сложного математического выражения, к примеру в форме разности двух значений, сводимых друг к другу путём алгебраических преобразований, такое деление может быть достаточно неочевидной ошибкой. Незаметное внесение такого деления в процесс доказательства с целью показать идентичность заведомо разных величин, тем самым доказывая любое абсурдное утверждение, является одной из разновидностей математического софизма^[1].

В информатикеПравить

В программировании, в зависимости от языка программирования, типа данных и значения делимого, попытка деления на ноль может приводить к различным последствиям. Принципиально различны последствия деления на ноль в целой и вещественной арифметике:

Попытка целочисленного деления на ноль всегда является критической ошибкой, делающей невозможным дальнейшее исполнение программы. Она приводит либо к генерации исключения (которое программа может обработать сама, избежав тем самым аварийной остановки), либо к немедленной остановке программы с выдачей сообщения о неисправимой ошибке и, возможно, содержимого стека вызовов. В некоторых языках программирования, например, в Go, целочисленное деление на нулевую константу считается синтаксической ошибкой и приводит к аварийному прекращению компиляции программы.
В вещественной арифметике последствия могут быть различным в разных языках:

генерация исключения или остановка программы, как и при целочисленном делении;
получение в результате операции специального нечислового значения. Вычисления при этом не прерываются, а их результат впоследствии может быть интерпретирован самой программой или пользователем как осмысленное значение или как свидетельство некорректности вычислений. Широко используется принцип, согласно которому при делении вида $\text{[math]}$ ^a⁄₀, где $\text{[math]}$ a ≠ 0 — число с плавающей запятой, результат оказывается равен положительной или отрицательной (в зависимости от знака делимого) бесконечности — +INF или −INF, а при $\text{[math]}$ a = 0 в результате получается специальное значение NaN (сокр. от англ. not a number — «не число»). Такой подход принят в стандарте IEEE 754, который поддерживается многими современными языками программирования.

Случайное деление на ноль в компьютерной программе порой становится причиной дорогих или опасных сбоев в работе управляемого программой оборудования. К примеру, 21 сентября 1997 года в результате деления на ноль в компьютеризированной управляющей системе крейсера USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США произошло отключение всего электронного оборудования в системе, в результате чего силовая установка корабля прекратила свою работу^[2]^[3].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

↑ Чарльз Сейфе. Устрашающие свойства пустоты // Ноль. Биография опасной идеи = Zero: The Biography of a Dangerous Idea. — Neoclassic, АСТ, 2014. — 2000 экз. — ISBN 978-5-17-083294-1, 978-985-18-3018-9.
↑ [https://web.archive.org/web/20150712183120/http://archive.wired.com/science/discoveries/news/1998/07/13987 Архивная копия от 12 июля 2015 на Wayback Machine Sunk by Windows NT] // Wired News. 1998-07-24.
↑ William Kahan. Desperately Needed Remedies for the Undebuggability of Large Floating-Point Computations in Science and Engineering (неопр.) (PDF) 54/90 (24 апреля 2012). Дата обращения: 28 сентября 2016. Архивировано 24 сентября 2016 года.

[1] Чарльз Сейфе. Устрашающие свойства пустоты // Ноль. Биография опасной идеи = Zero: The Biography of a Dangerous Idea. — Neoclassic, АСТ, 2014. — 2000 экз. — ISBN 978-5-17-083294-1, 978-985-18-3018-9.

[2] [https://web.archive.org/web/20150712183120/http://archive.wired.com/science/discoveries/news/1998/07/13987 Архивная копия от 12 июля 2015 на Wayback Machine Sunk by Windows NT] // Wired News. 1998-07-24.

[3] William Kahan. Desperately Needed Remedies for the Undebuggability of Large Floating-Point Computations in Science and Engineering (неопр.) (PDF) 54/90 (24 апреля 2012). Дата обращения: 28 сентября 2016. Архивировано 24 сентября 2016 года.

[1]

[2]

[3]