Гребенчатый фильтр

Гребенчатый фильтр — в обработке сигналов электронный фильтр, при прохождении сигнала через который к нему добавляется он сам с некоторой задержкой. В результате получается фазовая компенсация. АЧХ гребенчатого фильтра состоит из ряда равномерно распределённых пиков, так что она выглядит как гребёнка.

РеализацияПравить

В цифровых системах, фильтр задаётся следующим уравнением:

$y\left[n\right]=ax\left[n\right]+bx\left[n-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right]+cy\left[n-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right]$$y\left[n\right]=ax\left[n\right]+bx\left[n-\tau \right]+cy\left[n-\tau \right]$ 

где $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  — запаздывание. Гребенчатый фильтр также может быть реализован в аналоговой форме — АЧХ такого фильтра задаётся следующим выражением:

$H\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\right)=\frac{a+b{e}^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}}{1-<!--\; -\; -->c{e}^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}}$$H\left(\omega \right)={\frac {a+be^{-i\omega \tau }}{1-ce^{-i\omega \tau }}}$ 

Пики амплитудной характеристики получаются из-за того, что амплитудная характеристика включает периодические разрывы. Это происходит, когда выполняется следующее условие:

$\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)=\frac{1+c^2}{2c}$$\cos \left(\omega \tau \right)={\frac {1+c^{2}}{2c}}$ 

ПримененияПравить

Существуют двумерные и трёхмерные гребенчатые фильтры (реализованные как программно, так и аппаратно), применяющиеся для обработки сигналов в телевизионных системах стандартов PAL и NTSC. Они используются для уменьшения артефактов - например, таких, как сползание точек^[en].

В системах связи гребенчатые фильтры применяются для обработки сигнала связи.

Гребенчатые фильтры применяются для обработки аудиосигналов, в частности для создания эффекта эха. К примеру, если задержка установлена на уровне нескольких миллисекунд, это имитирует эффект звука в цилиндрической полости.

Передаточная функцияПравить

Гребенчатый фильтр представляет собой линейную стационарную систему. Пусть входной сигнал $x\left(n\right)$$x\left(n\right)$  имеет экспоненциальную форму:

$x\left(n\right)=e^{i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}n}$$x\left(n\right)=e^{i\omega n}$ 

Выходной сигнал $y\left(n\right)$$y\left(n\right)$  определяется как:

$y\left(n\right)=H\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\right)e^{i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}n}$$y\left(n\right)=H\left(\omega \right)e^{i\omega n}$ 

Объединив эти выражения с уравнением гребенчатого фильтра, получим:

$H\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\right)e^{i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}n}=a{e}^{i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}n}+b{e}^{i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\left(n-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)}+cH\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\right)e^{i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\left(n-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)}$$H\left(\omega \right)e^{i\omega n}=ae^{i\omega n}+be^{i\omega \left(n-\tau \right)}+cH\left(\omega \right)e^{i\omega \left(n-\tau \right)}$ 

$H\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\right)e^{i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}n}=a{e}^{i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}n}+b{e}^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{e}^{i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}n}+cH\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\right)e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{e}^{i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}n}$$H\left(\omega \right)e^{i\omega n}=ae^{i\omega n}+be^{-i\omega \tau }e^{i\omega n}+cH\left(\omega \right)e^{-i\omega \tau }e^{i\omega n}$ 

Принимая во внимание то, что экспонента не принимает значение нуля, уравнения можно поделить:

$H\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\right)=a+b{e}^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}+cH\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\right)e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$$H\left(\omega \right)=a+be^{-i\omega \tau }+cH\left(\omega \right)e^{-i\omega \tau }$ 

Решив относительно $H\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\right)$$H\left(\omega \right)$ , получим:

$H\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\right)=\frac{a+b{e}^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}}{1-<!--\; -\; -->c{e}^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}}$$H\left(\omega \right)={\frac {a+be^{-i\omega \tau }}{1-ce^{-i\omega \tau }}}$ 

См. такжеПравить

• Цифровая обработка сигналов
• Электронный фильтр
• Линейный фильтр