Гипотеза Хадвигера (комбинаторная геометрия)

Гипо́теза Хадвигера (комбинаторная геометрия) — гипотеза в комбинаторной геометрии, утверждающая, что любое выпуклое тело в $n$$n$-мерном евклидовом пространстве можно покрыть $2^n$$2^{n}$-меньшими гомотетичными покрываемому телу телами, и что параллелипипеды являются единственными телами, которые можно покрыть лишь $2^n$$2^{n}$-меньшими гомотетичными покрываемому телу телами. Справедливость этой гипотезы неизвестна для $n⩾<!--\; ⩾\; -->3$$n\geqslant 3$.

ИсторияПравить

Гипотеза была выдвинута Гуго Хадвигером в 1957 г. А.Ю. Левин и Ю.И. Петунин доказали, что для всякого $n$$n$ -мерного центрально-симметричного выпуклого тела справедливо неравенство $N⩽<!--\; ⩽\; -->(n+1{)}^n$$N\leqslant (n+1)^{n}$ . В 1963 г. Роджерс получил для центрально-симметричных тел оценку $N⩽<!--\; ⩽\; -->2^n(n\ln <!--\; \; -->n+n\ln <!--\; \; -->\ln <!--\; \; -->n+5n)$$N\leqslant 2^{n}(n\ln n+n\ln \ln n+5n)$ 

Формулировка в терминах задачи освещенияПравить

Можно показать, что наименьшее число гомотетичных исходному тел, необходимых для покрытия $n$$n$ -мерного выпуклого тела, равно наименьшему числу направлений, достаточных для полного освещения этого тела.

ЛитератураПравить

• В.Г. Болтянский, И.Ц. Гохберг. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. — М.: Наука, 1965. — 107 с.