Гипотеза Рамануджана

Гипотеза Рамануджана — высказанное С. Рамануджаном предположение относительно величины коэффициентов Фурье $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(n)$$\tau (n)$ функции $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$ (параболическая формы веса 12). Функция $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$ есть собственная функция операторов Гекке, $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(n)$$\tau (n)$ — соответствующие собственные значения.

Рамануджан предположил, что они удовлетворяют неравенству:

$|\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(p)|⩽<!--\; ⩽\; -->2p^{11/2},$$|\tau (p)|\leqslant 2p^{11/2},$

где $p$$p$ — простое.

При этом функцию $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(n)$$\tau (n)$ называют также функцией Рамануджана.

Ханс Петерсон^[en] обобщил гипотезу Рамануджана на случай собственных значений операторов Гекке модулярных форм веса $k$$k$, где целое $k⩾<!--\; ⩾\; -->2$$k\geqslant 2$. Это так называемая гипотеза Петерсона.

Позднее Пьер Делинь свёл гипотезу Петерсона к гипотезе Вейля, которую впоследствии сам же доказал в 1974 году. Соответственно, этим была доказана и гипотеза, выдвинутая Рамануджаном.

ЛитератураПравить

• Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 1916. — v. 22.
• Делинь П. Успехи математических наук. — 1975. — т. 30. — в. 5. — с. 159—190.
• Фоменко, О. М. Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. — М.: ВИНИТИ, 1977. — Т. 15. — С. 5—91.