Проблема Гольдбаха

Проблема Гольдбаха (гипотеза Гольдбаха, проблема Эйлера, бинарная проблема Гольдбаха) — утверждение о том, что любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Является открытой математической проблемой — по состоянию на 2023 год утверждение не доказано. В совокупности с гипотезой Римана включена в список проблем Гильберта под номером 8.

Более слабый вариант гипотезы — тернарная проблема Гольдбаха #Тернарная проблема Гольдбаха ^[⇨], согласно которой любое нечётное число, начиная с 7, можно представить в виде суммы трёх простых чисел, — в 2013 году доказана перуанским математиком Харальдом Гельфготтом. Из справедливости бинарной проблемы Гольдбаха очевидным образом следует тернарная: если каждое чётное число, начиная с 4, — сумма двух простых чисел, то, добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа, начиная с 7.

ИсторияПравить

Письмо Гольдбаха Эйлеру, датированное 7 июня 1742 (латынь — немецкий)^[1]

В 1742 году математик Христиан Гольдбах послал письмо Леонарду Эйлеру, в котором он высказал следующее предположение: каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу: каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Первое утверждение называется тернарной проблемой Гольдбаха, второе — бинарной проблемой Гольдбаха (или проблемой Эйлера).

Гипотезу, сходную с тернарной проблемой Гольдбаха, но в более слабой форме, высказал Варинг в 1770 году: каждое нечётное — простое число или сумма трёх простых.

Тернарная проблема ГольдбахаПравить

В 1923 году математики Харди и Литлвуд показали, что в случае справедливости некоторого обобщения гипотезы Римана проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечётных чисел.

В 1937 году Виноградов представил доказательство, не зависящее от справедливости гипотезы Римана, то есть доказал, что любое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых. Сам Виноградов не дал явной оценки для этого «достаточно большого числа», но его студент Константин Бороздин доказал, что нижняя граница не превышает 3^3¹⁵ ≈ 3,25×10^6 846 168 ≈ 10^6 846 168. То есть это число содержит почти 7 миллионов цифр, что делает невозможной прямую проверку всех меньших чисел.

В дальнейшем результат Виноградова многократно улучшали, пока в 1989 году Ван и Чэнь не опустили^[2] нижнюю грань до e^{e^11,503} ≈ 3,33339×10^43 000 ≈ 10^43 000,5, что, тем не менее, по-прежнему было вне пределов досягаемости для явной проверки всех меньших чисел.

В 1997 году Дезуйе, Эффингер, те Риле и Зиновьев показали^[3], что обобщённая гипотеза Римана влечёт справедливость тернарной проблемы Гольдбаха. Они доказали её справедливость для чисел, превышающих 10²⁰, в то время как справедливость утверждения для меньших чисел легко устанавливается на компьютере.

В 2013 году тернарная гипотеза Гольдбаха была окончательно доказана Харальдом Гельфготтом^[4]^[5]^[6]^[7].

Бинарная проблема ГольдбахаПравить

Бинарная проблема Гольдбаха всё ещё далека от решения.

Виноградов в 1937 году и Теодор Эстерманн в 1938 году показали, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел. Этот результат был немного усилен в 1975 году Хью Монтгомери (англ. Hugh Montgomery (mathematician) — версия статьи «Монтгомери, Хью (математик)» на английском языке Hugh Montgomery) и Бобом Воном (англ. Bob Vaughan — версия статьи «Вон, Боб» на английском языке Bob Vaughan). Они показали, что существуют положительные константы c и C такие, что количество чётных чисел, не больших N, непредставимых в виде суммы двух простых чисел, не превышает $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $CN^{1-c}$ .

В 1930 году Шнирельман доказал, что любое целое число представимо в виде суммы не более чем 800 000 простых чисел^[8]. Этот результат многократно улучшался, так, в 1995 году Оливье Рамаре доказал, что любое чётное число — сумма не более чем 6 простых чисел.

Из справедливости тернарной гипотезы Гольдбаха (доказанной в 2013 году) следует, что любое чётное число — сумма не более чем 4 простых чисел.

В 1966 году Чэнь Цзинжунь доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел). Например, 100 = 23 + 7 · 11.

На апрель 2012 года бинарная гипотеза Гольдбаха была проверена^[9] для всех чётных чисел, не превышающих 4×10¹⁸.

Если бинарная гипотеза Гольдбаха неверна, то существует алгоритм, который рано или поздно обнаружит её нарушение.

Бинарная гипотеза Гольдбаха может быть переформулирована как утверждение о неразрешимости диофантова уравнения 4-й степени некоторого специального вида^[10]^[11].

В культуреПравить

В 1992 году вышел в свет и получил чрезвычайную популярность «роман идей» Апостолоса Доксиадиса «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха». В рекламных целях издательство Faber and Faber пообещало миллион долларов тому из читателей, кто в течение двух лет после тиража даст решение задачи. Роман был переведён на десятки языков, в 2002 году появился его русский перевод^[12].

Проблема Гольдбаха является важной составляющей сюжетов фильма «Западня Ферма», вышедшего в 2007 году, и пилота сериала «Льюис» (2006 год).

ПримечанияПравить

↑ Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 125—129 Архивная копия от 1 июля 2019 на Wayback Machine
↑ J. R. Chen and T. Z. Wang, On the odd Goldbach problem, Acta Mathematica Sinica 32 (1989), 702—718. Addendum 34 (1991) 143—144.
↑ Jean-Marc Deshouillers Архивная копия от 25 октября 2012 на Wayback Machine, Gove Effinger Архивная копия от 1 октября 2012 на Wayback Machine, Herman te Riele Архивная копия от 29 марта 2012 на Wayback Machine, Dmitrii Zinoviev Архивная копия от 29 августа 2014 на Wayback Machine, A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis, Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society , Vol. 3, pp. 99 — 104. 1997.
↑ Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has… (англ.). Дата обращения: 10 июня 2013. Архивировано 22 марта 2017 года.
↑ Major arcs for Goldbach’s theorem Архивная копия от 29 июля 2013 на Wayback Machine, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897
↑ Goldbach Variations Архивная копия от 16 декабря 2013 на Wayback Machine // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013
↑ Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory Архивная копия от 23 июня 2013 на Wayback Machine // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913
↑ Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика? Архивная копия от 11 января 2014 на Wayback Machine — 3-e изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2001.
↑ Weisstein, Eric W. Goldbach Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ Yuri Matiyasevich. Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done Архивная копия от 13 июня 2010 на Wayback Machine.
↑ Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта (рус.). — Наука, 1993. […] мы можем переформулировать гипотезу Гольдбаха как утверждение о том, что диофантово уравнение $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(2a+4-p_{1}-p_{2})^{2}+\mathbf {P} ^{2}(p_{1},x_{1},\dots ,x_{m})+\mathbf {P} ^{2}(p_{2},y_{1},\dots ,y_{m})=0$ разрешимо относительно $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $p_{1},p_{2},x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{m}$ при всех значениях параметра $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a$
↑ Дядя Петрос и проблема Гольдбаха (Архивная копия от 14 сентября 2017 на Wayback Machine) на сайте Ozon.

ЛитератураПравить

«Математическая энциклопедия». М. 1977. Том I, с. 94, статья «Аддитивные проблемы».
Прахар К. П. Распределение простых чисел (рус.). — М.: «Мир», 1967. — 512 с.
Иэн Стюарт. Территория простых чисел. Проблема Гольдбаха // Величайшие математические задачи (рус.). — М.: «Альпина нон-фикшн», 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.

СсылкиПравить

Коняев, Андрей. Бог любит троицу. Решена одна из старейших и сложнейших математических задач (рус.). Лента.ру (17 июня 2013). — О завершении доказательства тернарной проблемы Гольдбаха. Дата обращения: 21 января 2016. Архивировано 19 июня 2013 года.
Петров С. Абсолютное программирование. Рекурсия — пример типичной псевдоматематической попытки доказательства проблемы Гольдбаха методом просеивания.

[1] Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 125—129 Архивная копия от 1 июля 2019 на Wayback Machine

[2] J. R. Chen and T. Z. Wang, On the odd Goldbach problem, Acta Mathematica Sinica 32 (1989), 702—718. Addendum 34 (1991) 143—144.

[3] Jean-Marc Deshouillers Архивная копия от 25 октября 2012 на Wayback Machine, Gove Effinger Архивная копия от 1 октября 2012 на Wayback Machine, Herman te Riele Архивная копия от 29 марта 2012 на Wayback Machine, Dmitrii Zinoviev Архивная копия от 29 августа 2014 на Wayback Machine, A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis, Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society , Vol. 3, pp. 99 — 104. 1997.

[4] Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has… (англ.). Дата обращения: 10 июня 2013. Архивировано 22 марта 2017 года.

[5] Major arcs for Goldbach’s theorem Архивная копия от 29 июля 2013 на Wayback Machine, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897

[6] Goldbach Variations Архивная копия от 16 декабря 2013 на Wayback Machine // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013

[7] Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory Архивная копия от 23 июня 2013 на Wayback Machine // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913

[8] Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика? Архивная копия от 11 января 2014 на Wayback Machine — 3-e изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2001.

[9] Weisstein, Eric W. Goldbach Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[10] Yuri Matiyasevich. Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done Архивная копия от 13 июня 2010 на Wayback Machine.

[11] Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта (рус.). — Наука, 1993. […] мы можем переформулировать гипотезу Гольдбаха как утверждение о том, что диофантово уравнение $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(2a+4-p_{1}-p_{2})^{2}+\mathbf {P} ^{2}(p_{1},x_{1},\dots ,x_{m})+\mathbf {P} ^{2}(p_{2},y_{1},\dots ,y_{m})=0$ разрешимо относительно $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $p_{1},p_{2},x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{m}$ при всех значениях параметра $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a$

[12] Дядя Петрос и проблема Гольдбаха (Архивная копия от 14 сентября 2017 на Wayback Machine) на сайте Ozon.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]