Гипотеза Брокара

Не следует путать с Задачей Брокара.

Гипо́теза Брока́ра — в теории чисел гипотеза о квадратах простых чисел, сформулированная Брокаром.

ФормулировкаПравить

Формулировка:

Между квадратами подряд идущих простых чисел, за исключением первых двух, всегда найдётся хотя бы 4 простых числа. Иначе говоря, все числа последовательности $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(p_{n+1}^2)-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(p_n^2)$$\pi (p_{{n+1}}^{2})-\pi (p_{n}^{2})$ , кроме первого, не меньше 4, где $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x)$$\pi (x)$  — количество простых чисел, меньших $x$$x$ .

n	$p_n$$p_n$	$p_n^2$$p_{n}^{2}$	Простые числа	$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$
1	2	4	5, 7	2
2	3	9	11, 13, 17, 19, 23	5
3	5	25	29, 31, 37, 41, 43, 47	6
4	7	49	53, 59, 61, 67, 71…	15
5	11	121	127, 131, 137, 139, 149…	9
$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  обозначает $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(p_{n+1}^2)-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(p_n^2)$$\pi (p_{{n+1}}^{2})-\pi (p_{n}^{2})$ .

На начало 2020 года не доказана и является одной из открытых математических проблем. Верна для первых 10 тыс. простых чисел, см. сдвинутую на один вправо последовательность последовательность A050216 в OEIS: 2, 2 (№ 1), 5, 6, 15, 9, 22, 11, 27, 47, 16, 57, 44…

Гипотеза ЛежандраПравить

Схожая и тоже недоказанная Гипотеза Лежандра, также называемая третьей проблемой Ландау, утверждает, что

Между квадратами двух последовательных натуральных чисел всегда найдётся простое число, или, что равносильно, функция $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(n^2)$$\pi (n^{2})$  строго возрастает с ростом $n$$n$ .