Функция Вейерштрасса

Функция Ве́йерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной; контрпример для гипотезы Ампера.

График функции Вейерштрасса с параметрами a = 3, b = 1/2 на интервале [−2, 2]. Этот график имеет фрактальный характер, демонстрируя самоподобие: увеличиваемая область (в красном круге) подобна всему графику.

Функция Вейерштрасса задается на всей вещественной прямой единым аналитическим выражением

$w(x)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}^n\cos <!--\; \; -->(a^n\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x),$$w(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{n}\cos(a^{n}\pi x),$

где $a$$a$ — произвольное нечётное число, не равное единице, а $b$$b$ — положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом

$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}^n,$$\sum _{n=0}^{\infty }b^{n},$

поэтому функция $w$$w$ определена и непрерывна при всех вещественных $x$$x$. Тем не менее, эта функция не имеет производной по крайней мере при

$ab>\frac{3}{2}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+1.$$ab>{\tfrac {3}{2}}\pi +1.$

Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке $x_0$$x_{0}$ строят две последовательности $\{x_m\}$$\{x_{m}\}$ и $\{y_m\}$$\{y_{m}\}$, сходящиеся к точке $x_0$$x_{0}$, и доказывают, что отношения

$\frac{w(x_m)-<!--\; -\; -->w(x_0)}{x_m-<!--\; -\; -->x_0}$${\frac {w(x_{m})-w(x_{0})}{x_{m}-x_{0}}}$ и $\frac{w(y_m)-<!--\; -\; -->w(x_0)}{y_m-<!--\; -\; -->x_0}$${\frac {w(y_{m})-w(x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}$

имеют разные знаки по крайней мере при

$ab>\frac{3}{2}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+1$$ab>{\tfrac {3}{2}}\pi +1$ и $a>1$$a>1$.

Указанные последовательности могут быть определены как

$x_m=\frac{{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_m-<!--\; -\; -->1}{a^m}$$x_{m}={\frac {\gamma _{m}-1}{a^{m}}}$ и $y_m=\frac{{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_m+1}{a^m},$$y_{m}={\frac {\gamma _{m}+1}{a^{m}}},$

где ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_m$$\gamma _{m}$ — ближайшее целое число к $a^m{x}_0$$a^{m}x_{0}$.

Отсутствие производной во всех точках при более общих условиях

$ab⩾<!--\; ⩾\; -->1$$ab\geqslant 1$ и $a>1$$a>1$

было установлено Харди.

Историческая справкаПравить

Запрос «Гипотеза Ампера» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

В 1806 году Ампер предпринял попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента. При этом принималась за очевидное возможность разбиения интервала изменения аргумента на части, в которых функция была бы монотонна. С этими оговорками гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку теоремы Лебега^[en]. В первой половине XIX века предпринимались попытки доказать гипотезу Ампера для более широкого класса, именно для всех непрерывных функций. В 1861 году Риман привёл своим слушателям в качестве контрпримера следующую функцию:

$r(x)=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\sin <!--\; \; -->n^{2}x}{n^2},$$r(x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n^{2}x}{n^{2}}},$ 

однако исследование дифференцируемости этой функции чрезвычайно сложно. Джозеф Гервер (англ. Joseph Gerver) доказал, что эта функция всё же имеет производную в некоторых рациональных точках, лишь в 1970 году.

В 1872 году Вейерштрасс предложил свой контрпример — описанную выше функцию $w$$w$  и представил строгое доказательство её недифференцируемости. В печати этот пример впервые появился в 1875 году в работе П. Дюбуа-Реймона.

Ещё один пример принадлежит ван дер Вардену (1930):

$v(x)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\{{10}^{n}x\}}{{10}^n},$$v(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\{10^{n}x\}}{10^{n}}},$ 

где фигурные скобки означают взятие дробной части.

ЛитератураПравить

• Weierstrass K. Math. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
• Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.
• Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва: Наука, 1985.