Характеристика (алгебра)

Характеристика — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств колец или полей.

Для кольца $R$$R$ характеристикой $\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}<!--\; \; -->R$${\mathop {{\mathrm {char}}}}R$ называется наименьшее целое $n>0$$n>0$ такое, что для каждого элемента $r\in <!--\; \in \; -->R$$r\in R$ выполняется равенство:

$n\cdot <!--\; \cdot \; -->r=\underset{n}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{r+\cdots <!--\; \cdots \; -->+r}}=0$$n\cdot r=\underbrace {r+\cdots +r}_{n}=0$,

а если такого числа не существует, то предполагается $\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}<!--\; \; -->R=0$${\mathop {{\mathrm {char}}}}R=0$.

При наличии единицы в кольце $R$$R$ характеристика может быть определена как наименьшее ненулевое натуральное число $n$$n$ такое, что $n\cdot <!--\; \cdot \; -->1=0$$n\cdot 1=0$, если же такого $n$$n$ не существует, то характеристика равна нулю.

Характеристики кольца целых чисел $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$, поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$, поля вещественных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$, поля комплексных чисел $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ равны нулю. Характеристика кольца вычетов $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$ равна $n$$n$. Характеристика конечного поля ${\mathbb{F}}_{p^m}$${\mathbb {F}}_{{p^{m}}}$, где $p$$p$ — простое число, $m$$m$ — положительное целое, равна $p$$p$.

Тривиальное кольцо с единственным элементом $0=1$$0=1$ — единственное кольцо с характеристикой $1$$1$.

Если нетривиальное кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику $n$$n$, то она является простым числом. Следовательно, характеристика любого поля $K$$K$ есть либо $0$$0$, либо простое число $p$$p$. В первом случае поле $K$$K$ содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю рациональных чисел $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$, во втором случае поле $K$$K$ содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю вычетов ${\mathbb{F}}_p$$\mathbb {F} _{p}$. В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в $K$$K$).

Характеристика конечного поля всегда положительна, однако из того, что характеристика поля положительна, не следует, что поле конечно. В качестве контрпримеров можно привести поле рациональных функций с коэффициентами в ${\mathbb{F}}_p$$\mathbb {F} _{p}$ и алгебраическое замыкание поля ${\mathbb{F}}_p$$\mathbb {F} _{p}$.

Если $R$$R$ — коммутативное кольцо простой характеристики $p$$p$, то $(a+b{)}^{p^n}=a^{p^n}+b^{p^n}$$(a+b)^{{p^{n}}}=a^{{p^{n}}}+b^{{p^{n}}}$ для всех $a,b\in <!--\; \in \; -->R$$a,b\in R$, $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$n\in \mathbb {N}$. Для таких колец можно определить эндоморфизм Фробениуса.

ЛитератураПравить

• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.