Гипервещественное число

Гипервещественные числа (гипердействительные числа) — расширение поля вещественных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$, которое содержит числа, бо́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы $1+1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+1$$1+1+\cdots +1$.

Термин «гипервещественное число» (англ. hyper-real number) был предложен американским математиком Эдвином Хьюиттом^[en] в 1948 году. Теорию поля гипервещественных чисел как расширения поля вещественных чисел опубликовал в 1960-е годы Абрахам Робинсон, который назвал её «нестандартным анализом». Робинсон также доказал непротиворечивость этой теории (точнее, свёл проблему к непротиворечивости вещественных чисел).

Теория гипервещественных чисел даёт строгий подход к исчислению бесконечно больших и бесконечно малых величин, которые в этом случае, в отличие от стандартного анализа, являются не переменными, а постоянными, то есть числами. В нестандартном анализе на современной основе реабилитируется восходящая к Лейбницу и его последователям идея о существовании актуальных бесконечно малых величин, отличных от нуля, — идея, которая в историческом развитии математического анализа была заменена понятием предела переменной величины. Любопытно, что представления об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых величинах сохранялись в учебниках физики и других естественных наук, где часто встречаются фразы вроде «пусть $dV$$dV$ — (бесконечно малый) элемент объёма…».

Формальное определениеПравить

Множество гипервещественных чисел ${}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathbb{R}$$^{*}\mathbb {R}$  представляет собой неархимедово упорядоченное поле, расширение поля вещественных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ , которое содержит числа, бо́́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы $1+1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+1$$1+1+\cdots +1$ . Каждое такое число бесконечно велико, а обратное ему бесконечно мало́.

Гипервещественные числа удовлетворяют принципу переноса — строгому варианту эвристического принципа непрерывности Лейбница. Принцип переноса утверждает, что утверждения в логике первого порядка об $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  справедливы и для ${}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathbb{R}$$^{*}\mathbb {R}$ . Например, правило коммутативности сложения $x+y=y+x$$x+y=y+x$  справедливо для гипервещественных чисел так же, как и для вещественных. Принцип переноса для ультрастепеней является следствием теоремы Лося (1955). Свойства арифметических операций с гипервещественными числами в основном такие же, как у вещественных.

Изучение бесконечно малых величин восходит к древнегреческому математику Евдоксу Книдскому, который использовал для их исчисления метод исчерпывания. В 1961 году А. Робинсон доказал, что поле вещественных чисел может быть расширено до множества (упорядоченного неархимедового поля), содержащего бесконечно малые и бесконечно большие элементы в том смысле, какой вкладывали в эти понятия Лейбниц и другие математики XVIII века.

Применение гипервещественных чисел и, в частности, принципа переноса, в задачах математического анализа называется нестандартным анализом. Одним из непосредственных приложений является определение основных понятий анализа, таких как производная и интеграл напрямую, без использования перехода к пределу или сложных логических конструкций. Так, определение производной $f(x)$$f(x)$  из аналитического становится чисто арифметическим:

$f^{\prime }(x)=\mathrm{st}<!--\; \; -->\left(\frac{f(x+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x)-<!--\; -\; -->f(x)}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}\right)$$f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$ 

для бесконечно малого $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x$$\Delta x$ , где $\mathrm{st}$$\operatorname {st}$  означает стандартную часть числа, которая связывает каждое конечное гипервещественное число с единственным вещественным, бесконечно близким к нему.

Поле гипервещественных чиселПравить

Поле гипервещественных чисел ${}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathbb{R}$$^{*}\mathbb {R}$  состоит из трёх частей:

• отрицательные бесконечные числа,
• конечные числа,
• положительные бесконечные числа.

Конечные числа, в свою очередь, можно разделить на две категории: обычные вещественные и нестандартные. Каждое нестандартное конечное число может быть однозначно представлено в виде: $a+\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->},$$a+\epsilon ,$  где $a$$a$  — вещественное число, а $\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}$$\epsilon$  — бесконечно малая (положительная или отрицательная). При $a=0$$a=0$  получается множество бесконечно малых. Таким образом, каждое вещественное число оказывается как бы окутано аурой (монадой) своих гипервещественных двойников, бесконечно к нему близких.

Алгебраическая структураПравить

Положим, что $X$$X$  является тихоновским пространством, которое также называется $T_{3.5}$$T_{3.5}$ -пространством, а $C(X)$$C(X)$  — алгебра непрерывных вещественных функций на $X$$X$ . Пусть $M$$M$  есть максимальный идеал в $C(X)$$C(X)$ . Тогда факторкольцо $A=C(X)/M$$A=C(X)/M$ , является, по определению, действительной алгеброй и может быть рассмотрено как линейно упорядоченное множество. Если $F$$F$  строго содержит $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ , то $M$$M$  называется гипервещественным идеалом (по терминологии Хьюитта, 1948), а $F$$F$  — гипервещественным полем. Отметим, что данное предположение не означает, что мощность поля $F$$F$  больше, чем у поля $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ , они могут на самом деле иметь одинаковую мощность.

Важный частный случай — если пространство $X$$X$  является дискретным пространством, в этом случае $X$$X$  можно отождествить с мощностью множества $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}$$\kappa$ , и $C(X)$$C(X)$  с вещественной алгеброй ${\mathbb{R}}^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}$$\mathbb {R} ^{\kappa }$  функций $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}$$\kappa$  от $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ . Гипервещественные поля, которые мы получаем в этом случае, называются ультрастепенями^[en] $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  и идентичны ультрастепеням, построенным через свободные ультрафильтры в общей топологии.

ЛитератураПравить

• Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Инфинитезимальный анализ. — Новосибирск: Институт математики, 2006.
• Дэвис М. Прикладной нестандартный анализ. — М.: Мир, 1980.
• Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ. — М.: Наука, 1987.