Правильный семиугольник

Правильный семиугольник — это правильный многоугольник с семью сторонами.

Семиугольник
Правильный семиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра	7
Символ Шлефли	{7}
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D7)
Площадь	$\frac{7}{4}{t}^2\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{7}$${\frac {7}{4}}t^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{7}}$ $=\frac{7}{2}{R}^2\sin <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{7}$$={\frac {7}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{7}}$ $=7r^2\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{7}$$=7r^{2}\operatorname {tg} {\frac {\pi }{7}}$.
Внутренний угол	≈128.571°
Свойства
выпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный
Медиафайлы на Викискладе

СвойстваПравить

 

Построение правильного семиугольника с помощью невсиса

Пусть $t$$t$  — сторона семиугольника, $R$$R$  — радиус описанной окружности, $r$$r$  — радиус вписанной окружности.

$t=2R\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{7}=2r\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{7};r=R\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{7}$$t=2R\sin {\frac {\pi }{7}}=2r\operatorname {tg}{\frac {\pi }{7}}~;~r=R\cos {\frac {\pi }{7}}$ ,

Периметр правильного семиугольника равен

$P=7t=14R\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{7}=14r\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{7}$$P=7t=14R\sin {\frac {\pi }{7}}=14r\operatorname {tg}{\frac {\pi }{7}}$ .

Площадь правильного семиугольника рассчитывается по формулам:

$S=\frac{7}{4}{t}^2\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{7}$$S={\frac {7}{4}}t^{2}\operatorname {ctg}{\frac {\pi }{7}}$ ,

$S=\frac{7}{2}{R}^2\sin <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{7}$$S={\frac {7}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{7}}$ ,

$S=7r^2\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{7}$$S=7r^{2}\operatorname {tg}{\frac {\pi }{7}}$ .

ПостроениеПравить

 

Приближённое построение правильного семиугольника

ТочноеПравить

Согласно теореме Гаусса — Ванцеля, правильный семиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки, но можно построить с помощью циркуля и невсиса, то есть размеченной линейки, на которой можно делать отметки и с помощью которой можно проводить прямые, проходящие через какую-нибудь точку, причём отмеченные на линейке точки будут принадлежать данным линиям (прямым или окружностям).

Построим квадрат PQRO со стороной a (см. рис.). Проведём дугу окружности с центром O и радиусом OQ. Возьмём линейку невсиса с диастемой (длиной) a и используя вертикальную ось симметрии квадрата в качестве направляющей, точку P в качестве полюса и дугу окружности в качестве целевой линии, получим отрезок AB, который будет стороной правильного семиугольника, с вертикальной осью симметрии, совпадающей с осью симметрии квадрата.

ПриближённоеПравить

Приближённое (но с достаточной для практики точностью ≈0,2 %) построение семиугольника показано на рисунке. Из точки $A$$A$  на окружности радиусом, равным радиусу окружности, проводим дугу $BOC$$BOC$ . Отрезок $BD=\frac{1}{2}BC$$BD={1 \over 2}BC$  и даст искомое приближение.

 

Анимация приближённого построения правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки.

Семиугольные звёздыПравить

Существует два звёздчатых семиугольника (гептаграммы): 7/2 и 7/3. Методы их построения аналогичны построению обычного семиугольника, только вершины нужно соединять через одну (7/2) или через две (7/3).

•  

  Семиугольная звезда 7/2

•  

  Семиугольная звезда 7/3

ПрименениеПравить

 

Семиугольная монета в 50 пенсов (150 лет Публичной библиотеке)

В Великобритании используются две монеты в форме семиугольника: 50 пенсов и 20 пенсов. Строго говоря, форма монет — криволинейный семиугольник, образующий кривую постоянной ширины, чтобы монеты плавно проходили в автоматы. Семиугольный кант аналогичной криволинейной формы имеет круглая монета номиналом в 10 киргизских сом.

Семиугольная звезда 7/2 являлась национальным символом Грузии и применялась, как элемент герба Грузии, в том числе и в советское время. В настоящее время не применяется.

Семиугольная звезда 7/3 является эмблемой компании A.P. Moller-Maersk Group.