Многомерное нормальное распределение

Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние) в теории вероятностей — это обобщение одномерного нормального распределения. Случайный вектор, имеющий многомерное нормальное распределение, называется гауссовским вектором.

Пример выборки из многомерного нормального распределения в пределах 3 сигм двух частных распределений

Определения править

Случайный вектор $\mathbf{X}=(X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n{)}^{\mathrm{\top <!--\; \top \; -->}}:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^n$${\mathbf {X}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})^{{\top }}:\Omega \to {\mathbb {R}}^{n}$  имеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

• Произвольная линейная комбинация компонентов вектора $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i{X}_i$$\sum \limits _{{i=1}}^{n}a_{i}X_{i}$  имеет нормальное распределение или является константой (это утверждение работает только если математическое ожидание равно 0).
• Существуют вектор независимых стандартных нормальных случайных величин $\mathbf{Z}=(Z_1,\dots <!--\; \dots \; -->,Z_m{)}^{\mathrm{\top <!--\; \top \; -->}}$${\mathbf {Z}}=(Z_{1},\ldots ,Z_{m})^{{\top }}$ , вещественный вектор $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n{)}^{\mathrm{\top <!--\; \top \; -->}}$${\mathbf {\mu }}=(\mu _{1},\ldots ,\mu _{n})^{{\top }}$  и матрица $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$  размерности $n\times <!--\; \times \; -->m$$n \times m$ , такие что:

$\mathbf{X}=\mathbf{A}\mathbf{Z}+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$${\mathbf {X}}={\mathbf {A}}{\mathbf {Z}}+{\mathbf {\mu }}$ .

• Существуют вектор $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$${\mathbf {\mu }}\in {\mathbb {R}}^{n}$  и неотрицательно определённая симметричная матрица $\mathbf{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$${\mathbf {\Sigma }}$  размерности $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$ , такие что характеристическая функция вектора $\mathbf{X}$$\mathbf {X}$  имеет вид:

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{\mathbf{X}}(\mathbf{u})=e^{i{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\mathrm{\top <!--\; \top \; -->}}\mathbf{u}-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}{\mathbf{u}}^{\mathrm{\top <!--\; \top \; -->}}\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}\mathbf{u}},\mathbf{u}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$\phi _{{{\mathbf {X}}}}({\mathbf {u}})=e^{{i{\mathbf {\mu }}^{{\top }}{\mathbf {u}}-{\frac {1}{2}}{\mathbf {u}}^{{\top }}\Sigma {\mathbf {u}}}},\;{\mathbf {u}}\in {\mathbb {R}}^{n}$ .

Плотность невырожденного нормального распределения править

• Если рассматривать только распределения с невырожденной ковариационной матрицей, то эквивалентным будет также следующее определение:

Существует вектор $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$${\mathbf {\mu }}\in {\mathbb {R}}^{n}$  и положительно определённая симметричная матрица $\mathbf{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$${\mathbf {\Sigma }}$  размерности $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$ , такие что плотность вероятности вектора $\mathbf{X}$$\mathbf {X}$  имеет вид::

$f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x})=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^{n/2}|\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}{|}^{1/2}}{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}(\mathbf{x}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{)}^{\mathrm{\top <!--\; \top \; -->}}{\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}(\mathbf{x}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})},\mathbf{x}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$f_{{{\mathbf {X}}}}({\mathbf {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{{n/2}}\vert \Sigma \vert ^{{1/2}}}}e^{{-{\frac {1}{2}}({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})^{{\top }}\Sigma ^{{-1}}({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})}},\;{\mathbf {x}}\in {\mathbb {R}}^{n}$ ,

где $|\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}|$$\vert \Sigma \vert$  — определитель матрицы $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$ , а ${\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}$$\Sigma ^{{-1}}$  — матрица обратная к $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$ 

• Вектор $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$${\mathbf {\mu }}$  является вектором средних значений $\mathbf{X}$$\mathbf {X}$ , а $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$  — его ковариационная матрица.
• В случае $n=1$$n = 1$ , многомерное нормальное распределение сводится к обычному нормальному распределению.
• Если случайный вектор $\mathbf{X}$$\mathbf {X}$  имеет многомерное нормальное распределение, то пишут $\mathbf{X}\sim <!--\; \sim \; -->\mathcal{N}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->})$$\mathbf {X} \sim {\mathcal {N}}(\mathbf {\mu } ,\Sigma )$ .

Двумерное нормальное распределение править

Частным случаем многомерного нормального распределения является двумерное нормальное распределение. В этом случае имеем две случайные величины $X_1,X_2$$X_{1},X_{2}$  с математическими ожиданиями ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1,{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2$$\mu _{1},\mu _{2}$ , дисперсиями ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_1^2,{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_2^2$$\sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2}$  и ковариацией ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{12}$$\sigma_{12}$ . В этом случае ковариационная матрица имеет размер 2, её определитель равен

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_1^2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_2^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{12}^2={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_1^2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_2^2(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^2),$$\mathrm {det} \Sigma =\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}-\sigma _{12}^{2}=\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}(1-\rho ^{2}),$ 

где $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{12}}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_1{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_2}$$\rho ={\frac {\sigma _{12}}{\sigma _{1}\sigma _{2}}}$  — коэффициент корреляции случайных величин.

Тогда плотность двумерного невырожденного (коэффициент корреляции по модулю не равен единице) нормального распределения можно записать в виде:

$f(x_1,x_2)=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_1{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_2\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^2}}\exp <!--\; \; -->\left\{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^2)}\left[\frac{(x_1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1{)}^2}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_1^2}-<!--\; -\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\frac{2(x_1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1)(x_2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2)}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_1{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_2}+\frac{(x_2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2{)}^2}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_2^2}\right]\right\}$$f(x_{1},x_{2})={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left[{\frac {(x_{1}-\mu _{1})^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}-\rho {\frac {2(x_{1}-\mu _{1})(x_{2}-\mu _{2})}{\sigma _{1}\sigma _{2}}}+{\frac {(x_{2}-\mu _{2})^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right]\right\}$ .

В том случае, если $X\sim <!--\; \sim \; -->\mathcal{N}({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1,{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_1^2),Y\sim <!--\; \sim \; -->\mathcal{N}({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2,{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_2^2),cov(X,Y)={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{12}$$X\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1},\sigma _{1}^{2}),Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{2},\sigma _{2}^{2}),cov(X,Y)=\sigma _{12}$  (то есть $X,Y$$X,Y$  являются зависимыми), их сумма все еще распределена нормально, но в дисперсии появляется дополнительное слагаемое $2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{12}$$2\sigma _{12}$ : $X+Y\sim <!--\; \sim \; -->\mathcal{N}({\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1+{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2,{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_1^2+{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_2^2+2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{12})$$X+Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+2\sigma _{12})$ .

Свойства многомерного нормального распределения править

• Если вектор $\mathbf{X}=(X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n{)}^{\mathrm{\top <!--\; \top \; -->}}$$\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\top }$  имеет многомерное нормальное распределение, то его компоненты $X_i,i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n,$$X_{i},i=1,\ldots ,n,$  имеют одномерное нормальное распределение. Обратное верно при независимости компонент.
• Если случайные величины $X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n$$X_{1},\ldots ,X_{n}$  имеют одномерное нормальное распределение и совместно независимы, то случайный вектор $\mathbf{X}=(X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n{)}^{\mathrm{\top <!--\; \top \; -->}}$$\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\top }$  имеет многомерное нормальное распределение. Матрица ковариаций $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$  такого вектора диагональна.
• Если $\mathbf{X}=(X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n{)}^{\mathrm{\top <!--\; \top \; -->}}$$\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\top }$  имеет многомерное нормальное распределение, и его компоненты попарно некоррелированы, то они независимы. Однако, если некоторые случайные величины $X_i,i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$X_{i},\;i=1,\ldots ,n$  имеют одномерные нормальные распределения и попарно не коррелируют, то отсюда не следует, что они независимы и имеют многомерное нормальное распределение.

Пример. Пусть $X\sim <!--\; \sim \; -->\mathcal{N}(0,1)$$X\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ , а $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\pm <!--\; \pm \; -->1$$\alpha =\pm 1$  с равными вероятностями и независима от указанной нормальной величины. Тогда если $Y=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}X\sim <!--\; \sim \; -->\mathcal{N}(0,1)$$Y=\alpha X\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ , то корреляция $X$$X$  и $Y$$Y$  равна нулю. Однако, эти случайные величины зависимы и в силу первого утверждения абзаца не имеют многомерного нормального распредедения.

• Многомерное нормальное распределение устойчиво относительно линейных преобразований. Если $\mathbf{X}\sim <!--\; \sim \; -->\mathcal{N}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->})$$\mathbf {X} \sim {\mathcal {N}}(\mathbf {\mu } ,\Sigma )$ , а $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$  — произвольная матрица размерности $m\times <!--\; \times \; -->n$$m\times n$ , то

$\mathbf{A}\mathbf{X}\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{N}\left(\mathbf{A}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathbf{A}\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}{\mathbf{A}}^{\mathrm{\top <!--\; \top \; -->}}\right).$${\mathbf {A}}{\mathbf {X}}\sim {\mathrm {N}}\left({\mathbf {A}}{\mathbf {\mu }},{\mathbf {A}}\Sigma {\mathbf {A}}^{{\top }}\right).$ 

Таким преобразованием и сдвигом любое невырожденное нормальное распределение можно привести к вектору независимых стандартных нормальных величин.

Моменты многомерного нормального распределения править

Пусть $X$$X$  — центрированные (с нулевым математическим ожиданием) случайные величины имеющие многомерное нормальное распределение, тогда моменты ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{i_1{i}_2{i}_3...i_k}=E(X_{i_1}{X}_{i_2}{X}_{i_3}...X_{i_k})$$\mu _{i_{1}i_{2}i_{3}...i_{k}}=E(X_{i_{1}}X_{i_{2}}X_{i_{3}}...X_{i_{k}})$  для нечетных $k$$k$  равно нулю, а для четных $k=2m$$k=2m$  вычисляется по формуле

$\sum <!--\; \sum \; -->{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{i_{t_1}{i}_{t_2}}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{i_{t_3}{i}_{t_4}}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{i_{t_4}{i}_{t_5}}...{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{i_{t_{k-<!--\; -\; -->1}}{i}_{t_k}}$$\sum \sigma _{i_{t_{1}}i_{t_{2}}}\sigma _{i_{t_{3}}i_{t_{4}}}\sigma _{i_{t_{4}}i_{t_{5}}}...\sigma _{i_{t_{k-1}}i_{t_{k}}}$ 

где суммирование осуществляется по всевозможным разбиениям индексов на пары. Количество множителей в каждом слагаемом равно $m$$m$ , количество слагаемых равно $\frac{(2m)!}{2^{m}m!}=\frac{(2m-<!--\; -\; -->1)!}{2^{m-<!--\; -\; -->1}(m-<!--\; -\; -->1)!}$${\frac {(2m)!}{2^{m}m!}}={\frac {(2m-1)!}{2^{m-1}(m-1)!}}$ 

Например, для моментов четвертого порядка в каждом слагаемом по два множителя и общее количество слагаемых будет равно $4!/(2^2\cdot <!--\; \cdot \; -->2!)=(1\cdot <!--\; \cdot \; -->2\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->4)/(4\cdot <!--\; \cdot \; -->2\cdot <!--\; \cdot \; -->1)=3$$4!/(2^{2}\cdot 2!)=(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)/(4\cdot 2\cdot 1)=3$ . Соответствующая общая формула для моментов четвертого порядка имеет вид:

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{ijkm}=E(X_i{X}_j{X}_k{X}_m)={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ij}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{km}+{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ik}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{jm}+{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{im}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{kj}$$\mu _{ijkm}=E(X_{i}X_{j}X_{k}X_{m})=\sigma _{ij}\sigma _{km}+\sigma _{ik}\sigma _{jm}+\sigma _{im}\sigma _{kj}$ 

В частности если $i=j=k=m$$i=j=k=m$ 

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{iiii}=E(X_i^4)=3{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ii}^2=3{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i^4$$\mu _{iiii}=E(X_{i}^{4})=3{\sigma }_{ii}^{2}=3{\sigma }_{i}^{4}$ 

При $i=j\ne k=m$$i=j\not =k=m$ 

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{iijj}=E(X_i^2{X}_j^2)={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ii}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{jj}+2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ij}={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i^2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_j^2+2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ij}$$\mu _{iijj}=E(X_{i}^{2}X_{j}^{2})={\sigma }_{ii}{\sigma }_{jj}+2{\sigma }_{ij}={\sigma }_{i}^{2}{\sigma }_{j}^{2}+2{\sigma }_{ij}$ 

При $i=j=k\ne m$$i=j=k\not =m$ 

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{iiij}=E(X_i^3{X}_j)={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ii}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ij}+{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ii}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ij}+{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ij}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ii}=3{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ij}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ii}=3{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i^2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ij}$$\mu _{iiij}=E(X_{i}^{3}X_{j})={\sigma }_{ii}{\sigma }_{ij}+{\sigma }_{ii}{\sigma }_{ij}+{\sigma }_{ij}{\sigma }_{ii}=3{\sigma }_{ij}{\sigma }_{ii}=3{\sigma }_{i}^{2}{\sigma }_{ij}$ 

Условное распределение править

Пусть случайные векторы $X$$X$  и $Y$$Y$  имеют совместное нормальное распределение с математическими ожиданиями ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_X,{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_Y$$\mu _{X},\mu _{Y}$ , ковариационными матрицами $V_X,V_Y$$V_{X},V_{Y}$  и матрицей ковариаций $C_{XY}$$C_{{XY}}$ . Это означает, что объединенный случайный вектор $\mathit{Z}=\left[\begin{array}{c}\mathit{X}\\ \mathit{Y}\end{array}\right]$${\boldsymbol Z}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol X}\\{\boldsymbol Y}\end{bmatrix}}$  подчиняется многомерному нормальному распределению с вектором математического ожидания ${\mathit{\mu <!--\; \mu \; -->}}_Z=\left[\begin{array}{c}{\mathit{\mu <!--\; \mu \; -->}}_X\\ {\mathit{\mu <!--\; \mu \; -->}}_Y\end{array}\right]$${\boldsymbol {\mu }}_{Z}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\mu }}_{X}\\{\boldsymbol {\mu }}_{Y}\end{bmatrix}}$  и ковариационной матрицей, которую можно представить в виде следующей блочной матрицы

${\boldsymbol V}_{Z}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol V}_{X}&{\boldsymbol C}_{{XY}}\\{\boldsymbol C}_{{YX}}&{\boldsymbol V}_{{Y}}\end{bmatrix}}$ ,

где $C_{YX}=C_{XY}^T$$C_{{YX}}=C_{{XY}}^{T}$ .

Тогда случайный вектор $Y$$Y$  при заданном значении случайного вектора $X$$X$  имеет (многомерное) нормальное условное распределение со следующим условным математическим ожиданием и условной ковариационной матрицей

$E(Y|X=x)={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_Y+C_{YX}{V}_X^{-<!--\; -\; -->1}(x-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_X),V(Y|X=x)=V_Y-<!--\; -\; -->C_{YX}{V}_X^{-<!--\; -\; -->1}{C}_{XY}$$E(Y|X=x)=\mu _{Y}+C_{{YX}}V_{X}^{{-1}}(x-\mu _{X}),\qquad V(Y|X=x)=V_{Y}-C_{{YX}}V_{X}^{{-1}}C_{{XY}}$ .

Первое равенство определяет функцию линейной регрессии (зависимости условного математического ожидания вектора $Y$$Y$  от заданного значения x случайного вектора $X$$X$ ), причем матрица $C_{XY}{V}^{-<!--\; -\; -->1}$$C_{{XY}}V^{{-1}}$  — матрица коэффициентов регрессии.

Условная ковариационная матрица представляет собой матрицу ковариаций случайных ошибок линейных регрессий компонентов вектора $Y$$Y$  на вектор $X$$X$ . В случае если $Y$$Y$  — обычная случайная величина (однокомпонентный вектор), условная ковариационная матрица — это условная дисперсия (по существу дисперсия случайной ошибки регрессии $Y$$Y$  на вектор $X$$X$ )

Литература править

• М. де Гроот^ru_en. Оптимальные статистические решения = Optimal Statistical Decisions. — М.: Мир, 1974. — 492 с.