Вязкостное решение

Вязкостное решение — определённый тип слабого решения дифференциального уравнения в частных производных, а точнее вырожденного эллиптического уравнения.

ОпределенияПравить

Вырожденное эллиптическое уравнениеПравить

Дифференциальное уравнение в частных производных

$F(x,u,Du,D^{2}u)=0$$F(x,u,Du,D^{2}u)=0$ ,

заданное в области $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n$$\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ , является вырожденным эллиптическим, если для любых двух симметричных матриц $X$$X$  и $Y$$Y$  таких, что их разница $Y-<!--\; -\; -->X$$Y-X$  положительно определенна, и любых значений $x\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$x\in \Omega$ , $u\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$u\in \mathbb {R}$  и $p\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$p\in \mathbb {R} ^{n}$  выполняется неравенство

$F(x,u,p,X)⩾<!--\; ⩾\; -->F(x,u,p,Y).$$F(x,u,p,X)\geqslant F(x,u,p,Y).$ 

ПримерыПравить

• Уравнение Лапласа

  $-<!--\; -\; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}u=0$$-\Delta u=0$ .

• Любое уравнение первого порядка.

Вязкостное решениеПравить

Полунепрерывная сверху функция $u$$u$ , заданная в $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ , называется вязкостным подрешением этого уравнения, если для любой точки $x_0\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$x_{0}\in \Omega$  и любой гладкой функции $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  такой, что $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x_0)=u(x_0)$$\phi (x_{0})=u(x_{0})$  и $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}⩾<!--\; ⩾\; -->u$$\phi \geqslant u$  в некоторой окрестности $x_0$$x_{0}$ , выполняется неравенство

$F(x_0,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x_0),D\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x_0),D^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x_0))⩽<!--\; ⩽\; -->0.$$F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leqslant 0.$ 

Аналогично полунепрерывная снизу функция $u$$u$ , заданная в $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ , называется вязкостным надрешением этого уравнения, если для любой точки $x_0\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$x_{0}\in \Omega$  и любой гладкой функции $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  такой, что $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x_0)=u(x_0)$$\phi (x_{0})=u(x_{0})$  и $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->u$$\phi \leqslant u$  в некоторой окрестности $x_0$$x_{0}$  выполняется неравенство

$F(x_0,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x_0),D\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x_0),D^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x_0))⩾<!--\; ⩾\; -->0.$$F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geqslant 0.$ 

Непрерывная функция $u$$u$  является вязкостным решением вырожденного эллиптического уравнения, если оно является подрешением и надрешением одновременно.

ИсторияПравить

Термин впервые появляются в работе Крэндалла^[en] и Лионса в 1983 году для решений уравнения Гамильтона — Якоби. Определение фактически дано Эвансом^[en] ранее, в 1980 году. Определение было уточнено в совместной работе всех троих.

ЛитератураПравить

• Т. А. Белкина, Ю. М. Кабанов. Вязкостные решения интегродифференциальных уравнений для вероятности неразорения (рус.) // ТВП. — 2015. — Т. 60, № 4. — С. 802–810. — doi:10.4213/tvp5036.