Окрестность

Для термина «окрестность» см. также другие значения.

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

На плоскости подмножество $V$$V$ является окрестностью точки $p$$p$, если вокруг точки можно нарисовать небольшой диск, который будет целиком содержаться в $V$$V$.

Прямоугольник не может являться окрестностью своих вершин.

ОпределенияПравить

Математический анализПравить

Основная статья: ε-окрестность

Пусть $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки $x_0$$x_{0}$  на числовой прямой (иногда говорят $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ -окрестностью) называется множество точек, удаленных от $x_0$$x_{0}$  менее чем на $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ , то есть $O_\varepsilon(x_0) =\{x: |x-x_0|< \varepsilon\}$ .

В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ -шар с центром в точке $x_0$$x_{0}$ .

В банаховом пространстве $(B,\Vert <!--\; \Vert \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->)$$(B,\|\cdot\|)$  окрестностью с центром в точке $x_0$$x_{0}$  называют множество $A=\{x\in B:\|x-x_0\|<\varepsilon\}$ .

В метрическом пространстве $(M,\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})$$(M,\rho)$  окрестностью с центром в точке $y$$y$  называют множество $A=\{x\in M:\rho(x,y)<\varepsilon\}$ .

Общая топологияПравить

Пусть задано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$$(X,{\mathcal {T}})$ , где $X$$X$  — произвольное множество, а $\mathcal{T}$$\mathcal{T}$  — определённая на $X$$X$  топология.

• Множество $V\subset <!--\; \subset \; -->X$$V\subset X$  называется окрестностью точки $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ , если существует открытое множество $U\in <!--\; \in \; -->\mathcal{T}$$U\in \mathcal{T}$  такое, что $x\in <!--\; \in \; -->U\subset <!--\; \subset \; -->V$$x \in U \subset V$ .
• Аналогично окрестностью множества $M\subset <!--\; \subset \; -->X$$M\subset X$  называется такое множество $V\subset <!--\; \subset \; -->X$$V\subset X$ , что существует открытое множество $U\in <!--\; \in \; -->\mathcal{T}$$U\in \mathcal{T}$ , для которого выполнено $M\subset <!--\; \subset \; -->U\subset <!--\; \subset \; -->V$$M \subset U \subset V$ .

ЗамечанияПравить

• Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность $V$$V$  была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество $U$$U$ . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта. Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
• Окрестностью множества точек $M$$M$  называется такое множество $V$$V$ , что $V$$V$  есть окрестность любой точки $x\in <!--\; \in \; -->M$$x\in M$ .

ПримерПравить

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда $(-<!--\; -\; -->1,2)$$(-1,2)$  является открытой окрестностью, а $[-<!--\; -\; -->1,2]$$[-1,2]$  — замкнутой окрестностью точки $0$$0$ .

Вариации и обобщенияПравить

Проколотая окрестностьПравить

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

Формальное определение: Множество $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{V}$$\dot{V}$  называется проколотой окрестностью (вы́колотой окрестностью) точки $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ , если

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{V}=V\setminus <!--\; \setminus \; -->\{x\},$$\dot{V} = V \setminus \{x\},$ 

где $V$$V$  — окрестность $x$$x$ .

См. такжеПравить

• Глоссарий общей топологии

ЛитератураПравить

• Математическая Энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
• У.Рудин. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.