Статистика Ферми — Дирака

Статистика Фе́рми — Дира́ка — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули: одно квантовое состояние не может быть занято более чем одной частицей). Определяет вероятность, с которой данный энергетический уровень системы, находящейся в термодинамическом равновесии, оказывается занятым фермионом.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц $n_i$$n_{i}$ с энергией ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i$$\varepsilon_i$ есть

$n_i=\frac{g_i}{\exp <!--\; \; -->\left(\frac{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{kT}\right)+1}$$n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon _{i}-\mu }{kT}}\right)+1}}$,

где $g_i$$g_i$ — кратность вырождения (число состояний частицы с энергией ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i$$\varepsilon_i$), $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ — химический потенциал (при нуле температуры равен энергии Ферми $E_F$$E_F$), $k$$k$ — постоянная Больцмана, $T$$T$ — абсолютная температура.

В идеальном ферми-газе при низких температурах $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=E_F$$\mu=E_F$. В этом случае, если $g_i=1$$g_i=1$, функция числа (доли) заполнения уровней частицами называется функцией Ферми:

$F(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->},T)=\frac{1}{\exp <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}-<!--\; -\; -->E_F}{kT}\right)+1}.$$F(\varepsilon ,T)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon -E_{F}}{kT}}\right)+1}}.$

Указанная статистика предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл. В 1927 статистика была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

Свойства статистики Ферми — Дирака править

 

Функция Ферми — Дирака. С ростом температуры ступенька размывается, а заполнение состояний с энергиями выше $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  растёт.

Функция Ферми — Дирака обладает следующими свойствами:

• безразмерна;
• принимает вещественные значения в диапазоне от 0 до 1;
• убывает с энергией, резко спадая вблизи энергии, равной химическому потенциалу;
• при абсолютном нуле имеет вид ступеньки со скачком от 1 до 0 при $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\varepsilon =\mu$ , а при подъёме температуры скачок заменяется всё более плавным спадом;
• при $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\varepsilon =\mu$  всегда $F=1/2$$F=1/2$  независимо от температуры.

Математический и физический смысл править

Функцией Ферми — Дирака $F(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->},T)$$F(\varepsilon ,T)$  задаются числа заполнения (англ. occupancy factor) квантовых состояний. Хотя она нередко называется «распределением», с точки зрения аппарата теории вероятностей она не является ни функцией распределения, ни плотностью распределения. В отношении этой функции, скажем, не может ставиться вопрос о нормировке.

Давая информацию о проценте заполненности состояний, функция $F(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->},T)$$F(\varepsilon ,T)$  ничего не говорит о наличии этих состояний. Для систем с дискретными энергиями набор их возможных значений задаётся перечнем ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_1$$\varepsilon _{1}$ , ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_2$$\varepsilon _{2}$  и т.д., а для систем с непрерывным спектром энергий состояния характеризуются «плотностью состояний» $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$\rho (\varepsilon )$  (Дж^-1 или Дж^-1м^-3). Функция

$f(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})={\left(\int <!--\; \int \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})F(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})d\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\right)}^{-<!--\; -\; -->1}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})F(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$f(\varepsilon )=\left(\int \rho (\varepsilon )F(\varepsilon )d\varepsilon \right)^{-1}\rho (\varepsilon )F(\varepsilon )$ 

является плотностью распределения (Дж^-1) частиц по энергии и нормирована. Для краткости, аргумент $T$$T$  опущен. В наиболее традиционных случаях $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})\sim <!--\; \sim \; -->\sqrt{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$$\rho (\varepsilon )\sim {\sqrt {\varepsilon }}$ .

Классический (максвелловский) предел править

При высоких температурах и/или низких концентрациях частиц статистика Ферми — Дирака (равно как и статистика Бозе — Эйнштейна) переходят в статистику Максвелла — Больцмана. А именно, в таких условиях

$F(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})=\exp <!--\; \; -->\left(\frac{E_F-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{kT}\right)$$F(\varepsilon )=\exp \left({\frac {E_{F}-\varepsilon }{kT}}\right)$ .

После подстановки плотности состояний $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$\rho (\varepsilon )$  и интегрирования по $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  от 0 до $+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$  выражение для $f$$f$  примет вид

$f(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}}{\sqrt{(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}kT{)}^3}}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{kT}\right)$$f(\varepsilon )={\frac {2\pi {\sqrt {\varepsilon }}}{\sqrt {(\pi kT)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {\varepsilon }{kT}}\right)$ .

Это и есть плотность распределения Максвелла (по энергиям).

Распределением Максвелла (особенно хорошо работающим применительно к газам) описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурации «частица $A$$A$  в состоянии 1 и частица $B$$B$  в состоянии 2» и «частица $B$$B$  в состоянии 1 и частица $A$$A$  в состоянии 2» считаются разными.

Применение статистики Ферми — Дирака править

Характеристика сферы применения править

Статистики Ферми — Дирака, а также Бозе — Эйнштейна применяются в тех случаях, когда необходимо учитывать квантовые эффекты и «неразличимость» частиц. В парадигме различимости оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии, что известно как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы.

Статистика Ферми — Дирака относится к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), а статистика Бозе — Эйнштейна — к бозонам. Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц $N/V⩾<!--\; ⩾\; -->n_q$$N/V\geqslant n_q$  (где $N$$N$  — число частиц, $V$$V$  — объём, $n_q$$n_q$  — квантовая концентрация). Квантовой называется концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры.

Конкретные примеры править

Статистика Ферми — Дирака часто используется для описания поведения ансамбля электронов в твёрдых телах; на ней базируются многие положения теории полупроводников и электроники в целом. Например, концентрация электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной зоне) полупроводника в равновесии рассчитывается как

$n=\underset{E_c}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})F(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})d\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->},p=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{E_v}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})(1-<!--\; -\; -->F(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}))d\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$n=\int \limits _{E_{c}}^{+\infty }\rho (\varepsilon )F(\varepsilon )\,d\varepsilon ,\quad p=\int \limits _{-\infty }^{E_{v}}\rho (\varepsilon )(1-F(\varepsilon ))\,d\varepsilon$ ,

где $E_c$$E_{c}$  ($E_v$$E_{v}$ ) — энергия дна зоны проводимости (потолка валентной зоны). Формула для туннельного тока между двумя областями, разделёнными квантовым потенциальным барьером, имеет общий вид

$j=\text{const}\cdot <!--\; \cdot \; -->\int <!--\; \int \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})\left[F_L(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})-<!--\; -\; -->F_R(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})\right]d\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$j={\mbox{const}}\cdot \int \Theta (\varepsilon )\left[F_{L}(\varepsilon )-F_{R}(\varepsilon )\right]\,d\varepsilon$ ,

где $\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}$$\Theta$  — коэффициент прозрачности барьера, а $F_L$$F_{L}$ , $F_R$$F_{R}$  — функции Ферми — Дирака в областях слева и справа от барьера.

Вывод распределения Ферми — Дирака править

Рассмотрим состояние частицы в системе, состоящей из множества частиц. Пусть энергия такой частицы равна $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ . Например, если наша система — это некий квантовый газ в «ящике», то подобное состояние может описываться частной волновой функцией. Известно, что для большого канонического ансамбля, функция распределения имеет вид

$Z=\underset{s}{\sum <!--\; \sum \; -->}{e}^{-<!--\; -\; -->(E(s)-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}N(s))/kT},$$Z=\sum_s e^{-(E(s)-\mu N(s))/kT},$ 

где $E(s)$$E(s)$  — энергия состояния $s$$s$ , $N(s)$$N(s)$  — число частиц, находящихся в состоянии $s$$s$ , $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  — химический потенциал, $s$$s$  — индекс, пробегающий все возможные микросостояния системы.

В данном контексте система имеет фиксированные состояния. Если какое либо состояние занято $n$$n$  частицами, то энергия системы — $n\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$n\cdot\varepsilon$ . Если состояние свободно, энергия имеет значение 0. Будем рассматривать равновесные одночастичные состояния как резервуар. После того, как система и резервуар займут одно и то же физическое пространство, начинает происходить обмен частицами между двумя состояниями (фактически, это явление мы и исследуем). Отсюда становится ясно, почему используется описанная выше функция распределения, которая, через химический потенциал, учитывает поток частиц между системой и резервуаром.

Для фермионов, каждое состояние может быть либо занято одной частицей, либо свободно. Поэтому, наша система имеет два множества: занятых (разумеется, одной частицей) и незанятых состояний, обозначающихся $s_1$$s_{1}$  и $s_2$$s_{2}$  соответственно. Видно, что $E(s_1)=\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$E(s_1)=\varepsilon$ , $N(s_1)=1$$N(s_1)=1$ , и $E(s_2)=0$$E(s_2)=0$ , $N(s_2)=0$$N(s_2)=0$ . Поэтому функция распределения принимает вид:

$Z=\underset{i=1}{\overset{2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->(E(s_i)-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}N(s_i))/kT}=e^{-<!--\; -\; -->(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})/kT}+1.$$Z=\sum_{i=1}^2 e^{-(E(s_i)-\mu N(s_i))/kT}=e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1.$ 

Для большого канонического ансамбля, вероятность того, что система находится в микросостоянии $s_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$s_\alpha$  вычисляется по формуле

$P(s_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})=\frac{e^{-<!--\; -\; -->(E(s_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}N(s_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}))/kT}}{Z}.$$P(s_\alpha)=\frac{e^{-(E(s_\alpha)-\mu N(s_\alpha))/kT}}{Z}.$ 

Наличие состояния, занятого частицей, означает, что система находится в микросостоянии $s_1$$s_{1}$ , вероятность которого

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{n}=P(s_1)=\frac{e^{-<!--\; -\; -->(E(s_1)-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}N(s_1))/kT}}{Z}=\frac{e^{-<!--\; -\; -->(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})/kT}}{e^{-<!--\; -\; -->(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})/kT}+1}=\frac{1}{e^{(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})/kT}+1}.$$\bar{n}=P(s_1)=\frac{e^{-(E(s_1)-\mu N(s_1))/kT}}{Z}=\frac{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}}{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1}=\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}.$ 

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{n}$$\bar{n}$  называется распределением Ферми — Дирака. Для фиксированной температуры $T$$T$ , $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{n}(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$\bar{n}(\varepsilon)$  есть вероятность того, что состояние с энергией $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  будет занято фермионом.

Учтём, что энергетический уровень $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  имеет вырождение $g_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$$g_\varepsilon$ . Теперь можно произвести простую модификацию:

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{n}=g_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{e^{(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})/kT}+1}.$$\bar{n}=g_\varepsilon\cdot\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}.$ 

Здесь $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{n}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{n}(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$${\bar {n}}={\bar {n}}(\varepsilon )$  — ожидаемая доля частиц во всех состояниях с энергией $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ .

Уточнение влияния температуры править

Для систем, имеющих температуру $T$$T$  ниже температуры Ферми $T_F=E_F/k$$T_{F}=E_{F}/k$ , а иногда (не вполне правомерно) и для более высоких температур используется аппроксимация $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->E_F$$\mu\approx E_F$ . Но в общем случае химический потенциал зависит от температуры — и в ряде задач эту зависимость целесообразно учитывать. Функция $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  представляется с любой точностью степенным рядом по чётным степеням отношения $T/T_{F}<1$ :

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=E_F\underset{n=0,1,2\dots <!--\; \dots \; -->}{\sum <!--\; \sum \; -->}\left[(-<!--\; -\; -->1{)}^n\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{2n}}{2^{2n}(2n+1)}{\left(\frac{kT}{E_F}\right)}^{2n}\right]=E_F\left[1-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{12}{\left(\frac{kT}{E_F}\right)}^2+\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^4}{80}{\left(\frac{kT}{E_F}\right)}^4+\dots <!--\; \dots \; -->\right]$$\mu =E_{F}\sum _{n=0,1,2\dots }{\left[(-1)^{n}{\frac {\pi ^{2n}}{2^{2n}(2n+1)}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2n}\right]}=E_{F}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{4}+\ldots \right]$ .

См. также править

• Закон Видемана — Франца
• Интеграл Ферми-Дирака
• Распределение Бозе — Эйнштейна
• Распределение Максвелла
• Статистика Бозе — Эйнштейна
• Распределение Ферми — Дирака