Векторный оператор Лапласа

Ве́кторный опера́тор Лапла́са (или ве́кторный лапласиа́н) — это векторный дифференциальный оператор второго порядка, определённый над векторным полем и обозначаемый символом $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$, аналогичный скалярному оператору Лапласа. Векторный оператор Лапласа действует на векторное поле и имеет векторное значение, тогда как скалярный лапласиан действует на скалярное поле и имеет скалярное значение. При вычислении в декартовых координатах получаемое векторное поле эквивалентно векторному полю скалярного лапласиана, действующего на отдельные компоненты исходного вектора.

Поскольку векторный и скалярный лапласианы обозначаются одним и тем же символом, большой греческой буквой дельта, но являются разными математическими объектами, в рамках данной статьи векторный лапласиан обозначается черным цветом, а скалярный лапласиан — синим.

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}$$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{A}=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{A}_x\mathbf{i}+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{A}_y\mathbf{j}+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{A}_z\mathbf{k}$$\Delta \mathbf {A} ={\color {blue}\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\color {blue}\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\color {blue}\Delta }A_{z}\mathbf {k}$

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{A}=(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{A}_x}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{A}_x}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{A}_x}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2})\mathbf{i}+(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{A}_y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{A}_y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{A}_y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2})\mathbf{j}+(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{A}_z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{A}_z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{A}_z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2})\mathbf{k}$$\Delta \mathbf {A} ={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k}$

ОпределениеПравить

Векторный оператор Лапласа векторного поля $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$  определяется следующим образом:

• Через оператор набла:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{A}=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{A})-<!--\; -\; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{A})$$\Delta \mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )$  .

• Через градиент, дивергенцию и ротор:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{A}=\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathbf{A})-<!--\; -\; -->\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}(\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathbf{A})$$\Delta \mathbf {A} =\mathrm {grad} (\mathrm {div} \mathbf {A} )-\mathrm {rot} (\mathrm {rot} \mathbf {A} )$ .

В декартовых координатах векторный лапласиан векторного поля $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$  можно представить в виде вектора, компонентами которого являются скалярные лапласианы компонент векторного поля $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$ :

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{A}=\left\{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{A}_x,\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{A}_y,\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{A}_z\right\}$$\Delta \mathbf {A} =\left\{{\color {blue}\Delta }A_{x},{\color {blue}\Delta }A_{y},{\color {blue}\Delta }A_{z}\right\}$  ,

где $A_x$$A_{x}$ , $A_y$$A_{y}$ , $A_z$$A_{z}$  — компоненты векторного поля $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$ .

Выражения для векторного оператора Лапласа в других системах координат можно найти в статье «Оператор набла в различных системах координат».

ОбобщениеПравить

Лапласиан любого тензорного поля $\mathbf{T}$$\mathbf {T}$  (скаляры и векторы являются частными случаями тензоров) определяется как дивергенция градиента тензора:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{T}=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathbf{T})$$\Delta \mathbf {T} =\nabla \cdot (\nabla \mathbf {T} )$ .

В случае если $\mathbf{T}$$\mathbf {T}$  — это скаляр (тензор нулевого порядка), оператор Лапласа принимает привычную форму.

Если $\mathbf{T}$$\mathbf {T}$  — это вектор (тензор первого порядка), то его градиент это ковариантная производная, которая является тензором второго порядка, а его дивергенция — это снова вектор. Формула для векторного лапласиана может быть представлена как дивергенция выражения для градиента вектора:

$\nabla \mathbf {T} =\left\{\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z}\right\}={\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}}$ ,

где $T_{uv}\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{T}_v}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}$$T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{v}}{\partial u}}$  (общий вид компоненты тензора), $u$$u$  и $v$$v$  могут принимать значения из множества $\{x,y,z\}$$\{x,y,z\}$ .

Аналогично, скалярное произведение вектора на градиент другого вектора (тензор второго порядка), значением которого является вектор, может быть рассмотрено как произведение матриц:

$\mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{bmatrix}}$ .

Данное выражение зависит от системы координат.

Использование в физикеПравить

Примером использования векторного оператора Лапласа являются уравнения Навье — Стокса для вязкой несжимаемой жидкости:

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{v}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+(\mathbf{v}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->})\mathbf{v}\right)=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathbf{f}-<!--\; -\; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}p+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\left(\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{v}\right)$$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {v} \right)$ ,

где слагаемое с векторным оператором Лапласа от поля скоростей $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\left(\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{v}\right)$$\mu \left(\Delta \mathbf {v} \right)$  представляет собой вязкость жидкости.

Уравнения плоской электромагнитной волны:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{E}=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathbf{E}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}$$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2}}$ 

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{H}=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathbf{H}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}$$\Delta \mathbf {H} =\mu \mu _{0}\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {H} \over \partial t^{2}}$ 

ЛитератураПравить

• Хмельник С.И. Уравнения Навье-Стокса существование и метод поиска глобального решения. — Израиль: MiC, 2010. — 106 с. — ISBN 978-0-557-48083-8.
• В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984.
• И.В.Савельев "Курс общей физики" том II