Векторная решётка

Ве́кторная решётка ($K$$K$-линеал, пространство Риса, в ранних русскоязычных источниках — также линейная структура) — вещественное или комплексное векторное пространство, наделённое структурой алгебраической решётки. Впервые рассмотрена Рисом в 1928 году, с использованием конструкций на её основе получены важные результаты в функциональном анализе.

Векторную решётку можно определить аксиоматически на векторном пространстве $X$$X$ с произвольным выделенным подклассом элементов $X_{+}\subset <!--\; \subset \; -->X$$X_{+}\subset X$, называемых положительными элементами ($0\notin <!--\; \notin \; -->X_{+}$$0\notin X_{+}$), посредством введения отношения частичного порядка следующим образом: $x>y\iff <!--\; \iff \; -->x-<!--\; -\; -->y\in <!--\; \in \; -->X_{+}$$x>y\Leftrightarrow x-y\in X_{+}$ (в этом случае $x\in <!--\; \in \; -->X_{+}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->x>0$$x\in X_{+}\Rightarrow x>0$), если при этом выполнены следующие условия:

• если $x>0$$x>0$, то $x\ne <!--\; \ne \; -->0$$x\neq 0$,
• если $x>0$$x>0$ и $y>0$$y>0$, то $x+y>0$$x+y>0$
• для любых двух элементов $x,y\in <!--\; \in \; -->X$$x,y\in X$ существует их супремум $x\vee <!--\; \vee \; -->y$$x\vee y$,
• если $x>0$$x>0$ и для элемента числового поля $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ выполнено $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0$$\lambda >0$, то $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}x>0$$\lambda x>0$.

Всякая векторная решётка дистрибутивна.

Важное свойство в векторных решётках — представимость любого элемента $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ в виде разности двух положительных элементов $x=x_{+}-<!--\; -\; -->x_{-<!--\; -\; -->}$$x=x_{+}-x_{-}$, где $x_{+}=x\vee <!--\; \vee \; -->0$$x_{+}=x\vee 0$ называется положительной частью элемента $x$$x$, а $x_{-<!--\; -\; -->}=(-<!--\; -\; -->x)\vee <!--\; \vee \; -->0$$x_{-}=(-x)\vee 0$ — его отрицательной частью. В этих терминах вводится также понятие модуля элемента следующим образом: $|x|=x_{+}+x_{-<!--\; -\; -->}$$|x|=x_{+}+x_{-}$, причём всегда выполнено $x⩽<!--\; ⩽\; -->x_{+}⩽<!--\; ⩽\; -->|x|$$x\leqslant x_{+}\leqslant |x|$. Для ограниченности множества $U\in <!--\; \in \; -->X$$U\in X$ в векторной решётке необходима и достаточна ограниченность множества модулей его элементов $U^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\{|x|,x\in <!--\; \in \; -->U\}$$U^{*}=\{|x|,\,x\in U\}$.

Особый интерес в функциональном анализе представляют векторные решётки с дополнительной пространственной структурой, такие как банаховы решётки.

ЛитератураПравить

• А. В. Бухвалов, А. И. Векслер, Г. Я. Лозановский. Банаховы решетки – некоторые банаховы аспекты теории // Успехи математических наук. — 1979. — Т. 34, № 2 (206). — С. 137–183.
• Вулих Б. З. Глава III. Линейные структуры // Введение в теорию полуупорядоченных пространств. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — 408 с. — 9000 экз.