Большой вывернутый обратноплосконосый икосододекаэдр

Большой (вывернутый) обратноплосконосый икосододекаэдр — это невыпуклый однородный многогранник, имеющий индекс U₇₄. Его символ Шлефли — s{3/2,5/3}.

Большой вывернутый обратноплосконосый икосододекаэдр
Тип	Однородный звёздчатый многогранник
Комбинаторика
Элементы	150 рёбер 60 вершин Χ = 2
Грани	98
Двойственный многогранник	Большой пятиугольный шестидесятигранник
Вершинная фигура (34.5/2)/2
Классификация
Обозначения	U74,K79, C90
Символ Шлефли	s{3/2,5/3}
Символ Витхоффа[en]	|3/2 5/3 2
Группа симметрии	I, [5,3]+, 532

Декартовы координатыПравить

Декартовы координаты вершин большого обратноплосконосого икосододекаэдра все являются чётными перестановками

(±2α, ±2, ±2β),

(±(α−βτ−1/τ), ±(α/τ+β−τ), ±(−ατ−β/τ−1)),

(±(ατ−β/τ+1), ±(−α−βτ+1/τ), ±(−α/τ+β+τ)),

(±(ατ−β/τ−1), ±(α+βτ+1/τ), ±(−α/τ+β−τ)) and

(±(α−βτ+1/τ), ±(−α/τ−β−τ), ±(−ατ−β/τ+1)),

с чётным числом знаков плюс, где

α = ξ−1/ξ

и

β = −ξ/τ+1/τ²−1/(ξτ),

где τ = (1+√5)/2 — золотое сечение, а ξ — наименьший положительный вещественный нуль функции ξ³−2ξ=−1/τ, а именно

$\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=\frac{\left(1+i\sqrt{3}\right){\left(\frac{1}{2\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}+\sqrt{\frac{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{-<!--\; -\; -->2}}{4}-<!--\; -\; -->\frac{8}{27}}\right)}^{\frac{1}{3}}+\left(1-<!--\; -\; -->i\sqrt{3}\right){\left(\frac{1}{2\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}-<!--\; -\; -->\sqrt{\frac{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{-<!--\; -\; -->2}}{4}-<!--\; -\; -->\frac{8}{27}}\right)}^{\frac{1}{3}}}{2}$$\xi ={\frac {\left(1+i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}+{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}+\left(1-i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}-{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}{2}}$ 

что примерно равно 0,3264046. Если взять нечётные перестановки координат выше с нечётным числом знаков плюс, получим другую, энантиоморфную, форму. Если взять нечётные перестановки с чётным числом знаков плюс или наоборот, получим те же тела, повёрнутые на 90 градусов.

Радиус описанной сферы для тела с единичным ребром равен

$R=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2-<!--\; -\; -->x}{1-<!--\; -\; -->x}}=0,580002\dots <!--\; \dots \; -->$$R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0,580002\dots$ ,

где $x$$x$  — подходящий нуль функции $x^3+2x^2=(\frac{1\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{5}}{2}{)}^2$$x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}$ . Четыре положительных вещественных корня уравнения шестой степени в $R^2,$$R^{2},$ 

$4096R^{12}-<!--\; -\; -->27648R^{10}+47104R^8-<!--\; -\; -->35776R^6+13872R^4-<!--\; -\; -->2696R^2+209=0$$4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0$ 

являются радиусами описанных сфер плосконосого додекаэдра (U₂₉), большого плосконосого икосододекаэдра^[en] (U₅₇), большого вывернутого плосконосого икосододекаэдра^[en] (U₆₉) и большого обратноплосконосого икосододекаэдра (U₇₄).

См. такжеПравить

• Список однородных многогранников
• Большой плосконосый икосододекаэдр^[en]
• Большой вывернутый плосконосый икосододекаэдр^[en]

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Great retrosnub icosidodecahedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• https://web.archive.org/web/20171110075259/http://gratrix.net/polyhedra/uniform/summary/